Аналитические методы в механике
Автор: Александр Георгиевич Петров
Организация: Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского, Москва
Доклад посвящен проблемам из трех различных разделов механики, в которых применение аналитических методов позволяет получить исчерпывающее исследование задачи или достигнуть значительных упрощений в вычислениях. В первом разделе рассматриваются задачи теоретической механики. Один из примеров – это задача о таутохронных колебаниях, в которых период колебаний не зависит от амплитуды. Аппель считал, что таким свойством обладает только линейный осциллятор. Оказывается существуют силы, нелинейно зависящие от координаты материальной точки, которые тоже обеспечивают таутохронность движения. Такие силы находятся методом инвариантной нормализации гамильтонианов Журавлева, о котором будет рассказано в докладе.
Из астрономических наблюдений известно, что ось вращения Земли совершает прецессию относительно оси эклиптики, делая полный оборот примерно за 26000 лет с угловым раствором 23o (лунно-солнечная прецессия рис 1). В докладе будет объяснено как вычислить этот период с помощью приближенной теории гироскопа и найти погрешность. Этим способом можно определить также период прецессии осесимметричного спутника Земли, под действием сил тяготения.
Во втором разделе исследуются задачи гидродинамики методами аналитической механики. Осесимметричные колебания жидкости в мелком бассейне в форме параболоида приводятся к уравнению колебаний нелинейного осциллятора и колебания оказываются таутохронными. Проведена аналогия между колебаниями газового пузырька в жидкости при резонансе радиальной и деформационной моды и колебаниями пружинного маятника при резонансе колебаний по вертикали и горизонтали. С помощью этой аналогии построена резонансная модель дробления пузырька под воздействием малой вибрации.
В третьем разделе рассмотрены модели природных процессов, изучаемые экспериментально или численными методами, требующими больших вычислительных ресурсов. Для их аналитического описания предлагаются вариационные методы. Теорему Гельмгольца о минимуме диссипации энергии в жидкостях с большой вязкости можно видоизменить так, чтобы она была приложима к уравнениям Навье-Стокса. Таким путем можно оценить максимальное значение вихря, например, в озере под действием ветра, для падающей в воздухе дождевой капле и т.д. Расчет вентиляционной сети в шахте с сотнями выработок сводится к задаче минимума функционала. С помощью принципа Ферма дана оценка погрешности время-импульсного метод измерения средней скорости потока для горных выработок (изобретение Шкундина С.З) (рис.2). В Институте гидродинамики СО РАН и европейскими учеными исследуется эффект образования волнового аттрактора в бассейнах со стратифицированной жидкостью под действием вибрации (рис. 3). Исследования требуют больших вычислительных затрат. В докладе с помощью метода симметрии и отражений будут получены простые формулы для вершин аттрактора и найдены области их существований.
Епихин А.С. в докладе сообщит как с помощью наблюдаемого свойства автомодельности донной поверхности можно на порядки сократить время расчета эрозии дна реки под трубопроводом.
1. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Физматлит 2009. 520 с.
2. Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В.Механика сплошной среды: вязкопластические течения. Юрайт, 2023. 394 с.
3. Петров А.Г., Потапов И.И. Избранные задачи русловых процессов. URSS, 2019. 243 с.
