Как возникает гидродинамическая неустойчивость? Эволюция концепций и современные представления

Автор: Василий Владимирович Веденеев

Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова

Классическим подходом к исследованию устойчивости сдвиговых течений (пограничные слои, следы, струи, слои смешения) является пренебрежение пространственной эволюцией течения. Тогда вопрос о линейной устойчивости течения сводится к решению задачи на собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда. Граница устойчивости, например, для пограничного слоя Блазиуса, имеет характерный вид, показанный на рисунке [1].
Однако, дело иначе обстоит, если пространственной эволюцией основного течения не пренебрегается. Поскольку пограничный слой нарастает с увеличением расстояния от передней кромки, то как можно увидеть из рисунка, рано или поздно возмущение фиксированной частоты выйдет из зоны роста. Если вблизи передней кромки пластины запускать отдельные локализованные пакеты с фиксированной частотой, то они, пройдя через зону нарастания возмущения, в достаточном удалении затухнут. То есть в двумерном неплоскопараллельном течении каждое возмущение, имеющее фиксированную частоту, должно затухнуть далеко вниз по потоку.
Эта идея полностью подтверждается при глобальном анализе устойчивости — т.е. анализе двумерного (или, вообще говоря, трёхмерного) течения без использования гипотезы плоскопараллельности. В этом случае все собственные частоты оказываются затухающими [2, 3], что, на первый взгляд, кажется парадоксальным. Действительно, как минимум в зоне роста плоскопараллельного приближения, создаваемые возмущения нарастают, что подтверждается многочисленными экспериментами [4]. 
Нарастание возмущений, начально локализованных в пространстве, может быть объяснено лишь немодальным взаимодействием затухающих глобальных собственных мод. Такое взаимодействие традиционно объясняет рост возмущений в линейно устойчивых плоскопараллельных течениях —например, в течении Пуазейля в круглой трубе. Оказывается, что этот же механизм объясняет и рост возмущений в широком классе “классических” течений, неустойчивых локально, но оказывающимися  устойчивыми глобально, а ограниченный во времени и пространстве рост возмущений в линейной задаче объясняется немодальным взаимодействием затухающих глобальных собственных мод. 
Предложенные идеи иллюстрируются на модельной задаче [5]. 
Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 25-19-00278).

1. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press. 2004.
2. Rodrıguez D., Tumin A., Theofilis V. Towards the foundation of a global modes concept. AIAA paper 2011-3603. 2011. 18 p.
3. Беляев К.В., Гарбарук А.В., Голубков В.Д. Расчет эволюции волн Толлмина-Шлихтинга на основе глобального анализа устойчивости // Математическое моделирование. 2023. Vol. 35. № 9. P. 45–60.
4. Boiko A.V., Westin K.J.A., Klingmann B.G.B., Kozlov V.V., Alfredsson P.H. Experiments in a boundary layer subjected to free stream turbulence. Part 2. The role of TS-waves in the transition process. // J. Fluid Mech. 1994. V. 281. P. 219 – 245.
5. Веденеев В.В., Гареев Л.Р., Зайко Ю.С., Экстер Н.М. Абсолютная и глобальная неустойчивость плоских затопленных струй // Изв. РАН. МЖГ. 2024. № 4. С. 3–17.