Нелинейные продольные волны деформации, распространяющиеся в поврежденном стержне Бишопа, находящемся в магнитном поле
Автор: Анна Леонтьева
Организация: Институт проблем машиностроения РАН – филиал Федерального исследовательского центра «Институт прикладной физики им. А.В. Гапонова – Грехова РАН»
В данной работе изучается распространение плоских продольных волн в однородном, нелинейно-упругом стержне, находящемся во внешнем нестационарном магнитном поле; при этом принимается наличие поврежденности [1, 2] в материале стержня. Динамическое поведение стержня определяется теорией Бишопа [3]. Исходная система уравнений, включающая в себя уравнение динамики стержня, уравнение изменения напряженности внешнего магнитного поля и кинетическое уравнение накопления повреждений в материале стержня, рассматривается в двух предельных и общем случаях.
В первом предельном случае предполагается, что, в условиях сильного магнитного поля, материал стержня обладает большим электрическим сопротивлением. Во втором предельном случае полагается, что материал стержня обладает свойством идеальной проводимости. В каждом частном случае система сводится к одному нелинейному уравнению пятого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. С учетом малого времени релаксации, получены эволюционные уравнения относительно функции продольной деформации, представляющие собой известное уравнение волновой динамики – Курамото – Сивашинского и его обобщение, с дополнительным квадратично-нелинейным слагаемым. Методом простейших уравнений [4] найдены точные решения полученных эволюционных уравнений. Показано, что решения описывают пространственно локализованные волны деформации в виде солитонов и ударных волн.
В общем случае система сводится к нелинейному уравнению седьмого порядка. В обыкновенных производных и при некоторых соотношениях между параметрами, уравнение переходит в уравнение ангармонического осциллятора с двумя типами квадратичной нелинейности. Найден первый интеграл уравнения. Проведенный качественный анализ показал возможность распространения в системе волн деформации: нелинейных периодических и пространственно локализованных солитонного типа.
