О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ С ЯДРОМ ТИПА РАБОТНОВА
Автор: Даниил Андреевич Приказчиков
Организация: Факультет аэрофизики и космических исследований МФТИ, Москва
При моделировании материалов с ползучестью в рамках линейной теории Вольтерра могут быть использованы интегральные операторы с сингулярными ядрами типа Работнова, обуславливающие эффект памяти материалов. Эта теория применима к широкому классу аморфных и гетерогенных материалов, демонстрирующих наследственные свойства.
Автором настоящей работы были доказаны существование, единственность и бесконечная дифференцируемость решений в классическом и сильном смыслах в случае переменных, в том числе разрывных, коэффициентов. В одномерном случае общее решение может быть выражено через ряды Фурье, что позволяет эффективно анализировать динамику процессов ползучести на тестовых задачах. Кроме того, разработаны экспериментальные методы определения параметров материалов по кривым ползучести при произвольном нагружении, что расширяет применимость модели.
Помимо прочего предложен алгоритм численного решения волнового уравнения с памятью 1D, 2D и 3D. После преобразований исходное уравнение с абелевским ядром сводится к системе, содержащей дробную производную по времени. Для численного решения применена схема Лакса–Вендроффа для дискретизации пространственной части. При численном решении получающейся таким образом системы из-за дробной производной требуется интегрирование по всем предыдущим временным слоям, что учитывает историю нагружения материала.
Алгоритм реализован для одно- и дву- и трёхмерных случаев на Python и C++ [1]. Проведены численные исследования порядка аппроксимации, устойчивости и сходимости, подтвердившие эффективность предложенного метода. Исследование выполнено при поддержке гранта Российского Научного Фонда (проект №23-11-00035).
