Взаимодействие дискретного и непрерывного спектра в задачах гидродинамической устойчивости
Автор: Василий Владимирович Веденеев
Соавторы: Д.А. Ашуров
Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
Рис. 1. Движение собственных мод 𝑘(𝜔) в задаче о волнах на поверхности жидкости при 𝜔 = 0.9+i𝜔i (а) и в задаче о затопленной струе при 𝜔 = 1.0+i𝜔i
В ряде задач, связанных с пространственным распространением волн ~exp(i(kx-ωt)), необходимо идентифицировать волны, движущиеся в одну и в другую стороны оси x. Общепринятым в литературе индикатором направления движения волны являются критерий Бриггса [1, 2], вытекающий из принципа причинности и соответствующий знаку Im k(ω) при Im ω→+∞.
Однако, прямое применение критерия Бриггса не всегда возможно из-за поглощения дискретной моды k(ω), описывающей волну, непрерывным спектром при увеличении Im ω. Так, задача о волнах на поверхности тяжёлой жидкости, над которой движется более лёгкая жидкость со скоростью U, описывается дисперсионным уравнением [3]:
ρ1 (ω-Uk)2+ρ2 ω2 = (ρ2-ρ1) g|k|+ N|k|3
При вещественных значениях частоты при некоторых конкретных параметрах в данной задаче имеется 6 пространственных мод k(ω), однако при увеличении Im ω две из них поглощаются непрерывным спектром (рис. 1а), и при больших значениях остаются лишь 4 моды. Аналогично, в задаче о вязкой затопленной струе пространственные моды ku, kd3, kd4, являющиеся собственными значениями уравнения Орра-Зоммерфельда, поглощаются непрерывным спектром (рис. 1б).
В настоящей работе дано обобщение критерия Бриггса на случай поглощения собственных мод непрерывным спектром и приведены примеры его применения [4] для затопленной струи и пограничного слоя. Например, в задаче об устойчивости затопленной струи (рис. 1б), движущаяся вверх по потоку затухающая мода ku и две движущиеся вниз по потоку моды неустойчивости kd3, kd4 находятся в одинаковой четверти комплексной плоскости 𝑘 и имеют одинаковый знак фазовой и групповой скорости при вещественном значении ω, однако истинное направление движения этих волн определяется полученным в настоящей работе обобщением критерия Бриггса.
Работа поддержана грантом РНФ 25-19-00278.
1. Briggs R. J. Electron-Stream Interaction with Plasmas. MIT Press, 1964. 187 p.
2. Ashpis D. E., Reshotko E. The vibrating ribbon problem revisited// J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213. P. 531–547.
3. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.
4. Веденеев В. В. О направлении движения бегущих волн// Ж. выч. мат. мат. физ. 2025. Принято к печати.
