Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Московский физико-технический институт
Высокая точность воспроизведения особенностей сингулярных решений зачастую является критически важным требованием при моделировании физических процессов. Значительное влияние на точность численного решения оказывает расположение расчетных узлов относительно особенностей самого решения. Одним из подходов к проблеме повышения точности расчетов при моделировании таких процессов является использование адаптивных подвижных расчетных сеток, сгущающихся вблизи особенностей решения.
В основу работы положена модификация принципа квазистационарности, основанная на переходе в подвижную систему координат, в которой особенности решения рассматриваемой задачи стационарны [1, 2], причем каждая грань расчетной сетки в ходе численных расчетов считается особой поверхностью. В ходе численного моделирования скорость каждого узла подстраивается под скорость волны наибольшей амплитуды (ведущей волны). Потоковые величины для схемы типа Годунова вычисляются по решению локальной задачи Римана на траекториях узлов.
Численные расчеты показали высокую эффективность предложенного метода моделирования нестационарных одномерных течений с помощью динамически адаптирующихся сеток для расчета ударных волн и волн Римана. Повышения точности воспроизведения контактного разрыва удается добиться путем увеличения количества узлов в центральной области в начальный момент времени. Аналогичным образом в работе рассматриваются задачи, связанные моделированием стационарных двумерных сверхкритических течений для уравнений газовой динамики, которые могут быть эффективно смоделированы с помощью маршевых методов.
-
K.E. Shilnikov, M.B. Kochanov. Numerical solution of two-dimensional (2D) nonlinear heat conductivity problem on moving grids // J. Phys.: Conf. Ser. 1686, 2020, 012038
-
K.E. Shilnikov, M.B. Kochanov. On one approach for the numerical solving of hyperbolic initial-boundary problems on an adaptive moving grids // Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 421, 2023, 114884.
Кирилл Евгеньевич Шильников
Научно-исследовательский институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва
Снижение волнового сопротивления тел при энерговкладе в сверхзвуковом набегающем потоке обусловлено формированием передних отрывных зон при взаимодействии высокотемпературного следа за областью энерговклада с головной ударной волной и ударным слоем перед телом [1]. Форма изобарической отрывной зоны в сверхзвуковом потоке определяется поперечным распределением локальных чисел Маха в следе, а давление внутри нее равно полному давлению в следе за прямым скачком [2]. Эффект не зависит от толщины следа, что лежит в основе концепции «тепловой иглы»: даже очень тонкого следа достаточно для формирования отрывной зоны в виде конуса с малым затуплением [3]. Однако, для энергоисточников малого размера обнаружено развитие мощных пульсаций расходного типа за счет периодического захвата высоконапорной струи отрывной зоной на этапе ее роста и последующего сброса излишков газа («парадокс тепловой иглы») (рис. 1). Динамическое уменьшение размеров области энерговклада в процессе расчета позволяет избежать развития пульсаций [3] и преодолеть «парадокс тепловой иглы».
В [4] сформулировано правило эквивалентности, обеспечивающее формирование передних отрывных зон примерно одинаковой формы при изменении числа Маха набегающего потока. При этом коэффициент эффективности (отношение сэкономленной и вложенной мощностей) пропорционален числу Маха набегающего потока в квадрате и отношению площадей миделевых сечений тела и области энерговклада.
При импульсно периодическом энерговкладе не формируется сплошного следа, а лишь отдельные высокотемпературные облака. Показано, что при обеспечении равенства вложенной энергии за период при стационарном и импульсно-периодическом энерговкладе обеспечивается формирование примерно одинаковых по геометрии квазистационарных отрывных зон за примерно одинаковое время. При этом пульсации давления в отрывной зоне для случая импульсно-периодического энерговклада получаются даже несколько меньшими, чем при стационарном энерговкладе.
1. Георгиевский П.Ю., Левин В.А. Управление обтеканием различных тел с помощью локализованного подвода энергии в сверхзвуковой набегающий поток // Изв. РАН. МЖГ. 2003. 38(5): 154–167.
2. Гувернюк С.В., Савинов К.Г. Отрывные изобарические структуры в сверхзвуковых потоках с локализованной неоднородностью // ДАН. 2007. 413(2): 188 – 192.
3. P. Georgievsky, V. Levin, Transformations of Front Separation Regions Controlled by Upstream Energy Deposition, AIAA Paper 2007-1232. 2007. 11 p.
4. Георгиевский П. Ю., Левин В. А. Правило эквивалентности для задачи о снижении волнового сопротивления тел в сверхзвуковом потоке при помощи тепловой иглы // XIII Всероссийский Съезд по теоретической и прикладной механике: сборник тезисов докладов в 4 томах, 21–25 августа, 2023 г. Т. 2. Механика жидкости и газа. Санкт-Петербург, 2023. С. 344–347.
Павел Юрьевич Георгиевский
Физический факультет, МГУ имени М.В. Ломоносова
Газовый разряд представляет собой один из наиболее изученных и широко применяемых методов создания низкотемпературной плазмы и относится к эффективным средствам управления потоком. Разнообразие видов электрического разряда позволяет создавать устройства для решения различных газодинамических задач: от управления аэродинамическим сопротивлением в открытых течениях [1] до оптимизации процессов воспламенения и сгорания топлива в камерах внутреннего сгорания в замкнутых каналах [2]. При этом воздействие на высокоскоростные течения с повышенной энтальпией, характерные для замкнутых систем, требует применения высокоэнергетических импульсных методов.
Целью данной работы является экспериментальное исследование локализации импульсного объемного разряда (ИОР) в условиях газодинамического потока. Исследование проводилось с использованием диэлектрической вставки, установленного на стенке канала в плазменной области. Данная вставка выступает в роли препятствия как для протекания разрядного тока, так и для газодинамического течения.
Эксперименты выполнены на установке УТРО-3 (Ударная Труба – Разряд – Оптика), представляющей собой однодиафрагменную ударную трубу со специализированной разрядной секцией. Прямоугольный канал имеет поперечное сечение 48мм × 24мм. Вдоль канала расположен 100-миллиметровый участок, на котором инициируется ИОР (см. Рис.). Разряд формируется в различных зонах газодинамического течения за УВ [3].
В ходе исследования было выделено четыре основных режима локализации ИОР в потоке с числом Маха до M=1,7. Каждому режиму соответствует характерная картина свечения разряда, определяемая газодинамической структурой и скоростью [4] обтекания препятствия в канале. Локализация разряда наблюдалась преимущественно вблизи диэлектрической вставки в виде одного или двух продольных течению каналов.
Работа выполнена при поддержке РНФ в рамках проекта №24-79-00029.
1.Moreau E. Airflow control by non-thermal plasma actuators // J. Phys. D-Appl. Phys. 2007. V. 40. p. 605-363.
2. Feng R., Huang Y., Zhu J. et al. Ignition and combustion enhancement in a cavity-based supersonic combustor by a multi-channel gliding arc plasma // Exp. Therm. Fluid Sci. 2021. V. 120. P. 110248.
3.Znamenskaya, I.A., Lutsky, A.E., Tatarenkova, D.I. et al. Nanosecond volume discharge in the non-stationary high-speed profiled channel flow // Phys.of Fluids. 2023. 35. 7.
4. Долбня Д.И., Дорощенко И.А., Знаменская И.А., Муратов М.И. Новые подходы к визуализации и анализу течений в ударных трубах // Вестник МГУ. Серия 3: Физика, астрономия. 2025. 80. 3. 2531001.
Дарья Илларионовна Татаренкова
ФАУ ЦИАМ им. П.И. Баранова; МФТИ
Рис. 2. а) Осредненная картина взаимодействия работающего двигателя с ветром б) Мгновенная картина окружных скоростей в сечении перед вентилятором.
Известно, что на земле ветер может приводить к потере устойчивости. Это учитывают в условиях эксплуатации самолетов, и на взлетных накладывают ограничения по ветру. Однако могут возникать ситуации, при которых двигатель должен работать на повышенных относительных частотах вращения ротора низкого давления при произвольной ориентации ЛА к направлению ветра (процедура ANTI-ICE [1]). В этих условиях, в связи с отсутствием ограничений по ветру, появление критичной неоднородности на входе в воздухозаборник, может быть более вероятно, чем на взлетных режимах, которые считаются наиболее напряженными.
В данной работе было обращено внимание на взаимодействие работающего двигателя с попутным ветром. Были проведены расчетные исследования обтекания работающей модели двигателя с использованием вихреразрешающих методов. Они показали, что в условиях попутного ветра даже небольшой интенсивности могут возникать условия, повышающие вероятность возникновения помпажа.
На рисунке 2 (а) для изображена осредненная картина течения со скоростью попутного ветра 7 м/с и скоростью струи на выходе из сопла 175 м/с. Видно, что линии тока при взаимодействии с ветром струя разворачивается и попадает в воздухозаборник. В действительности в результате турбулентных пульсаций течение является существенно неоднородным, пространственным и нестационарным. На рисунке 2 (б) видно, что модуль окружной скорости достигает 60 м/с, что сопоставимо с локальной скоростью вентилятора 110 м/с при относительной частоте вращения в 45%.
Такой масштаб окружных скоростей может изменить положение рабочей линии компрессора и снизить границу устойчивой работы, что может стать причиной потери устойчивости. Масштаб этого эффекта в настоящее время, возможно, недооценен, а оценки вероятности возникновения помпажа в условиях попутного ветра могут быть заниженными.
Данная работа имеет высокий потенциал применения для корректировки существующих и дополнения разрабатываемых правил эксплуатации гражданских самолетов с турбовентиляторными двигателями.
1. Самолет RRJ-95B Руководство по летной эксплуатации (в четырех частях), ч. 1 Подготовка и выполнение полета. 502 с
Арсен Мигранович Назарян
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Описывается методика численного моделирования двумерных нестационарных течений газа с помощью специального класса динамических локально-адаптируемых расчетных сеток. Каждая квадратная расчетная ячейка может как рекурсивно разбиваться на четыре квадранта, так и, вместе с соседними ячейками, рекомбинироваться в более крупную ячейку. Структура сетки представляется многоуровневым древовидным графом. Применяется конечно-объемный численный метод CWENO третьего порядка аппроксимации с динамическим компактным шаблоном. Функция аппроксимации величин на границах ячеек представляет собой параболоид, коэффициенты которого определяются из переопределенных систем алгебраических уравнений методом наименьших квадратов. Структура данных и вычислительный алгоритм естественным образом укладываются в парадигму объектно-ориентированного программирования на языке C++ с распараллеливанием на основе OpenMP.
Найден простой и достаточно эффективный локальный критерий разбиения и рекомбинации ячеек на основе величины градиента плотности. Проведено сравнение расчетов модельных задач газовой динамики на равномерных и локально-адаптируемых сетках. Показано, что применение адаптируемых сеток может приводить в существенной экономии вычислительных ресурсов, особенно на подробных сетках: при измельчении число ячеек (и объем требуемой операционной памяти) имеет квадратичную асимптотику для равномерных сеток и примерно линейную – для древовидных. Асимптотика времени расчета задачи при измельчении сетки также снижается с кубической до квадратичной.
Работа выполнена в НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова с использованием ресурсов суперкомпьютерного комплекса МГУ имени М.В. Ломоносова при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (Соглашение от 24.04.2024 № 075-15-2024-543).
Олег Георгиевич Сутырин
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Разделение газовой смеси на компоненты является важной технологической задачей во многих отраслях производства. Эффективные технологии газоразделения востребованы при очистке и обработке попутного нефтяного газа, получении азота, кислорода и благородных газов из воздуха, очистке воздуха от углекислого газа, разделении сероводородных смесей, разделении изотопов.
В настоящее время для решения этих задач применяются самые различные методы, многие из которых зачастую являются крайне ресурсозатратными, и поэтому постоянно ведется поиск новых, более дешевых и эффективных технологий.
В последние десятилетия с развитием микротехнологий, а также мембранных технологий появилась практическая возможность разделения газовых смесей за счет новых эффектов, реализующихся при течениях с конечными числами Кнудсена. В докладе рассматривается ряд новых постановок о течении газовых смесей в микроустройствах с подвижными элементами. Представленные постановки изучаются численно с использованием метода прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ), и условно разбиваются на две группы: (1) устройства с элементами, совершающими гармоническое движение – осциллирующее или волновое [1,2], а также (2) устройства с элементами, совершающими вращательное движение – аналоги различных конфигураций молекулярных насосов [3,4].
Василий Викторович Косьянчук
НИЦ «Курчатовский институт» — НИИСИ
Усовершенствование современных двигателей, основанных на традиционных схемах, подошло к своему технологическому пределу. Основным прорывным направлением в данной области является развитие двигателей, основанных на принципиально новых схемах действия, такими, например, являются детонационные двигатели [1-3]. Однако во время работы стенки камеры сгорания подвергаются воздействию чрезвычайно высоких тепловых потоков, температура в верхней части камеры достигает более 2000 К, что создаёт локальные высокие тепловые нагрузки [4]. Поэтому необходимо разработать эффективные технологии управления тепловым режимом, подходящие для детонационных камер сгорания, чтобы обеспечить надёжность камеры сгорания в практических инженерных приложениях. При изучении технологий термозащиты для детонационных камер сгорания крайне важно учитывать неравномерное распределение тепла в пространстве. Для повышения производительности необходимо оптимизировать расположение и площадь зон термозащиты. Методы активной тепловой защиты в основном включают конвекционное охлаждение, включая регенеративное охлаждение, пленочное охлаждение и транспирационное охлаждение. Среди этих методов транспирационное охлаждение выделяется из-за его высокой эффективности охлаждения. В данной работе проведено моделирование газодинамических течений в канале, имитирующем части камеры сгорания с пористыми вставками. Исследовано влияние подачи из пористых боковых стенок холодного горючего и/или окислителя на поток горячей газовой смеси, состоящей из продуктов сгорания и не догоревшего топлива.
1. Wolański P. Detonative propulsion, Proceedings of the Combustion Institute 34, pp. 125–158 (2013).
2. V.B. Betelin, V.F. Nikitin, E.V. Mikhalchenko, 3D numerical modeling of a cylindrical RDE with an inner body extending out of the nozzle, Acta Astronautica, Volume 176, 2020, 628-646
3. E.V. Mikhalchenko, E.I. Skryleva, M.N. Smirnova, F. Chen, Y. Meng, The effect of spatial non-uniformity on multiple transient modes of detonation onset in a three-dimensional channel, Acta Astronautica, Volume 225, 2024, 576-582.
4. J. Kang, Feilong Song, Y. Wu, D. Zhang, J. Zhou, X. Sun, Experimental study on the suppression of inlet blockage in rotating detonation combustor by porous-wall, Acta Astronautica, Volume 225, 2024, 477-488.
Елена Викторовна Михальченко
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
В рамках многокомпонентных уравнений Эйлера в двумерной плоской постановке численно исследуется падение ударной волны на пристеночный газовый пузырь (поперечный цилиндр), заполненный водородно-кислородной смесью с добавлением ксенона. Горение газа моделируется с помощью детальной кинетики O’Conaire, учитывающей 19 обратимых реакций для 9 активных газовых компонентов. Применяется конечно-разностный метод класса WENO высокого порядка аппроксимации, адаптированные под задачи с резкими границами раздела газов различного химического состава.
Описаны процессы преломления и отражения ударной волны от стенки, а также фокусировки вторичных скачков уплотнения. Обнаружены различные режимы инициирования детонации в пузыре – прямой (за счет разогрева горючей смеси при ударном сжатии) в передней части пузыря, при преломлении и отражении волны от стенки в задней части пузыря, и при фокусировке скачков на плоскости симметрии вблизи стенки. На основе серии расчетов определена зависимость режимов воспламенения и пороговых чисел Маха падающей волны от формы пузыря. Показано, что сочетание фокусировки волны на пузыре и отражения от стенки приводит к существенному снижению пороговых чисел Маха, характеризующих минимальную достаточную для инициирования детонации интенсивность падающей волны, как по сравнению с плоским слоем горючего газа перед стенкой, так и по сравнению со свободным пузырем без стенки.
Олег Георгиевич Сутырин
Физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова
Исследование тепловых потоков в ударно-волновых течениях со сложной структурой требует комплексного подхода с использованием современных цифровых методов регистрации и анализа данных. Целью данной работы является комплексный анализ нестационарных газодинамических и тепловых процессов в высокоскоростных газовых потоках с ударными волнами.
Экспериментальное исследование нестационарного процесса дифракции и обтекания аэродинамической модели – тела вращения (затупленный по сфере цилиндр), установленного вдоль оси симметрии течения, проводилось в рабочей части камеры низкого давления ударной трубы с прямоугольным сечением 24×48 мм. Регистрация тепловых полей, формирующихся с течением времени на обтекаемых поверхностях газодинамического канала, проводилась совместно с высокоскоростной теневой визуализацией ударно-волновых структур, образующихся в результате дифракции плоской ударной волны с числом Маха в диапазоне М=2,5–4,0 на модели (см. Рис.1а).
Тепловое излучение, сопровождающее происходящие внутри рабочей секции газодинамические процессы, регистрировалось через боковые кварцевые стенки рабочего участка в диапазоне порядка 1,5–2,8 мкм с помощью инфракрасной камеры Telops FAST M200. Частота съемки достигала 2000 Гц, время экспозиции одного кадра варьировалось от 200 до 500 мкс.
Процесс дифракции ударной волны на модели (10–15 мкс), установление стационарного обтекания (15–300 мкс), дальнейшие взаимодействия ударно-волновых конфигураций регистрировались теневым методом при скорости регистрации 150000к/с.
Рис. 1. Кадр теневой съемки (а) и термограмма (б)– обтекание модели потоком за ударной волной с М=3,3.
Показано, что тепловое излучение, регистрируемое при обтекании стенок канала (окон камеры) и поверхности модели (см. Рис.1б), соответствует периодам времени до 200–400 мкс после начала взаимодействия ударной волны с моделью в зависимости от числа Маха падающей ударной волны.
1. Karnozova E., Znamenskaya I., Doroshchenko I., Sysoev N., Lutsky A. Energy conversions at shock wave interaction with pulse discharge in profiled channel // Physics of Fluids. 2024. Vol. 36, № 12. P. 126120.
2. Карнозова Е.А., Попович С.С. Термографическое исследование тепловых потоков в высокоскоростных течениях за ударными волнами // сборник Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тезисы докладов XXV Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика А.И. Леонтьева. 9-13 июня 2025.
Елизавета Андреевна Карнозова
Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова механико-математический факультет
Численно и аналитически исследуется одномерная задача о распространении ударной волны по газу с периодическим разрывным кусочно-постоянным распределением плотности – аналог известной задачи Шу-Ошера, применяемой для тестирования численных методов в газовой динамике. Характерной особенностью задачи Шу-Ошера является генерация мелкомасштабных интенсивных осцилляций плотности, корректное разрешение которых проблематично для многих численных методов невысокого порядка аппроксимации. Исходная задача имеет синусоидальное распределение плотности и потому не поддается аналитическому решению, тогда как для разрывного аналога задачи такое решение можно найти как минимум для раннего этапа течения, сводящегося к ряду задач о распаде газодинамического разрыва.
На основе численного моделирования с помощью конечно-разностного WENO-метода 5го порядка аппроксимации построена подробная x-t диаграмма течения. Получено аналитическое решение задач о распаде разрыва для ключевых областей взаимодействия основной и вторичных ударных волн с контактными разрывами. Аналитические и численные результаты – значения газодинамических параметров в ряде подобластей x-t диаграммы – хорошо согласуются между собой. Определено, что средняя скорость лидирующей ударной волны, как полученная численно, так и аналитически, близка к скорости исходной ударной волны, распространяющейся по невозмущенному газу. Проведено сравнение задачи Шу-Ошера и её разрывного аналога, показано, что эффект «умножения частоты» квазипериодических возмущений сразу за фронтом ударной волны сохраняется и для разрывной задачи.
Алексей Дмитриевич Сажин
АО ГНЦ "ЦЕНТР КЕЛДЫША", Московский физико-технический институт (НИУ)
Наддув топливного бака необходим для повышения или поддержания давления на заданном уровне во время отбора топлива. Эффективность наддува зависит от температуры газа, чем выше температура, тем меньше потребная масса газа наддува. Однако эффективность «горячего» наддува снижается из-за наличия теплообмена между газовой подушкой и жидкостью. Расчет теплового потока из газовой фазы в жидкость является сложной многопараметрической задачей, особенно для криогенных топливных баков [1].
В данной работе рассматривается асимптотический режим теплообмена [2] на межфазной границе, названный «режим предельного теплообмена», в котором тепловой поток из газовой фазы в жидкость считается предельно возможным. Предложена физико-математическая модель для описания основных интегральных характеристик процесса наддува в этом режиме. Получено уравнение теплового баланса на межфазной поверхности, записанное в безразмерной форме. Показано, что, с точки зрения эффективности системы наддува, режим предельного теплообмена является наиболее неблагоприятным.
Отдельное внимание уделяется решению задачи преднаддува криогенного топливного бака в режиме предельного теплообмена. Преднаддув выполняется на этапе предстартовой подготовки путем вдува бустерного газа без отбора топлива. Пренебрегая теплоемкостью стенки, было получено решение безразмерной задачи, которое зависит только от критериев подобия, характеризующих теплофизические свойства вещества, находящегося в баке, и безразмерной температуры газа наддува.
Используя полученное решение к задаче о преднаддуве водородного бака, была получена зависимость давления в баке от времени.
Сравнение с экспериментом [3] показало хорошее совпадения на начальных этапах, расхождение между расчетом по предложенной модели и экспериментом не превышает 10%. Однако примерно с 60 секунды предложенная модель существенно завышает создаваемый наддувом прирост давления. Одной из основных причин расхождения может быть неучет теплообмена со стенкой бака и конструкции диффузора в рамках предложенных соотношений.
1.Федоров В.И. Исследование тепломассообмена в баках кислородно-углеводородных и кислородно-водородных ракет-носителей во время работы двигательной установки. // Известия РАН. Энергетика. 2012. № 2. С. 43-53.
2. Петрова С.В., Городнов А.О., Черкасов С.Г.Обратные задачи тепломасопереноса при наддуве криогенных баков. // Материалы IV международной конференции современные проблемы теплофизики и энергетики. 2024, С. 214-215
3. Stewart M.E. Pressurization of a flightweight, liquid hydrogen tank: evaporation & condensation of a liquid vapor interface // AIAA Propulsion and Energy Forum. 2017, Atlanta.
Светлана Владимировна Петрова
ФАУ “Центральный институт авиационного моторостроения имени П.И. Баранова”, Москва
Моделирование теплового состояния при переходном течении целесообразно проводить с использованием нестационарной сопряжённой постановки, в которой рассчитывается как движение газовой фазы, так и процесс теплопередачи в твёрдом теле. Основная проблема при проведении таких расчетов возникает из-за значительной разницы в характеристиках расчетных областей (теплопроводность, теплоемкость, плотность), что приводит к различию временных масштабов протекающих процессов. Общее время длительности прогрева стальной пластины может составлять от 10 до 103 с, а характерный временной шаг в задачах газовой динамики сжимаемых сред для воздуха не превышает 10-5 с [1]. Использование неявного слабого сопряжения на границе раздела сред позволяет сократить расчетные и временные ресурсы, затрачиваемых на численное моделирование.
Для реализации слабого сопряжения использовался решатель на основе давления. В таком случае система уравнений Навье-Стокса для вязкого совершенного газа и уравнение теплопроводности для пластин решаются независимо и с временными шагами, рассчитываемыми по характеристикам среды. Обмен условиями на границе происходит через заданный интервал. В таком случае допустимо, что задача газовой динамики будет считаться до установления стационарного решения на каждом временном отрезке расчета теплового состояния пластины [2, 3].
Отдельно решалась задача сопряженного теплообмена с использованием решателя на основе плотности с целью сравнить результаты, полученные двумя решателями [4]. Для алгоритма на основе плотности применяется только строгое сопряжение – для всех расчетных областей используется единый временной шаг, тепловой поток и поле температур на границе оставались неразрывными.
В данной работе приведено сравнение профилей распределения давления, температуры и коэффициентов теплоотдачи на интерфейсных границах при использовании различных параметров сопряжения. Показано, что слабое сопряжение на интерфейсных границах позволяет оценивать указанные характеристики с удовлетворительной точностью для расчетов нестационарного прогрева пластин с переходным течением.
Дмитрий Андреевич Павлов
