Численное решение уравнения вязкоупругости в 1D и 2D с ядрами экспоненциального и абелевсого типов
Автор: Даниил Андреевич Приказчиков
Организация: Факультет аэрофизики и космических исследований МФТИ, Москва
При описании сред с ползучестью согласно линейной теории ползучести Вольтерра, применимой к широкому перечню материалов с аморфной и гетерогенной структурой, возникают операторы интегрального типа, которые дают эффект памяти среде [1]. В первых приближениях ядро интегрального оператора представимо в виде суммы из экспонент с разными коэффициентами в степени или же в виде сингулярного ядра абелевского типа.
Некоторое время назад в работах авторов [2, 3] были обоснованы существование решения и его единственность в классическом и сильных смыслах. Отсюда возникает необходимость предложения алгоритма численного решения для волнового уравнения с эффектом памяти.
В настоящей работе на примере одномерной задачи предлагается требуемый метод. В случае экспоненциальных ядер с помощью выделения отдельных слагаемых в ядре интеграла и разделения переменных исходное уравнения представляется в форме системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [4]. Для уравнения с ядром абелевского типа после аналогичных действий возникает дробная производная по времени.
Для выписанной системы предложен и реализован алгоритм численного решения с аппроксимацией пространственной части по схеме Лакса Вендроффа. При численном приближении дробной производной по времени в случае ядра интегрального оператора типа Абеля возникает необходимость интегрирования по всем предыдущим временным слоям для переменных описывающих память материала.
Алгоритм реализован в одно- и двухмерном случаях на языках Python и C++. Проверены аппроксимация и устойчивость. Численно определён порядок сходимости для полученных схем.
