3D-моделирование электромеханики миокарда в вычислительном комплексе «CarNum»

Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Рис. Волна возбуждения огибает невозбудимый участок в левой нижней части образца. Показаны трансмембранный потенциал в мВ (слева) и максимальные деформации мышечных волокон (справа).

В докладе представлена структура нового вычислительного комплекса (фреймворка) для моделирования сердечной электромеханики, и показаны некоторые результаты его применения. Фреймворк построен на базе пакета для параллельных вычислений в математическом моделировании INMOST и включает ряд других пакетов для работы с символьной алгеброй и решения систем уравнений. Комплекс позволяет удобным образом ставить и решать задачи моделирования миокарда. Хотелось бы выделить его следующие возможности: (а) задание моделей электрофизиологии и механики кардиомиоцита в удобном формате; (б) задание определяющих соотношений макромеханики через перемещения, из которых автоматически собираются тензоры и матрицы для возникающей в постановке нелинейной системы; (в) считывание геометрий образцов с помеченными тегами границами; (г) точки сохранения счёта и автоматическое изменение шага по времени с повторной попыткой решения уравнений механики при расходимости решателя.

Работу фреймворка сначала проверяли на ряде тестовых задач, бенчмарков, без активного мышечного сокращения [1]. Однако наибольший интерес представляла возможность моделировать задачи, в которых мышца развивает активные напряжения, зависящие от активации её регуляторных белков ионами кальция и взаимодействия сократительных белков. Решали 3D-задачи о возбуждении и сокращении тонкостенного прямоугольного образца типа плиты с невозбудимой областью, материал которого описывали моделью [2], учитывающей полное сопряжение электромеханики клетки. Результаты показали наличие ряда вычислительных трудностей, обусловленных, главным образом, зависимостью скоростью изменения напряжений от скорости деформаций образца. Сходимость решателя также определялась такими факторами, как несжимаемость миокарда, тип закрепления границ, расположение областей неоднородности, приводящих к значительной неравномерности распределения деформаций в образце. Модификации численной схемы и ослабление условий несжимаемости позволили провести моделирование волн возбуждения-сокращения в образце и получить результаты, схожие с полученными ранее на двумерной задаче [3]. Работа поддержана грантом РНФ № 22-71-10007.

1.Liogky A.A. et al. CarNum: parallel numerical framework for computational cardiac electromechanics // Rus J Num Analys Math Model. 2023. Vol. 38(3). P. 127–144.

2. Syomin F. et al. Computationally efficient model of myocardial electromechanics for multiscale simulations // PLoS ONE. 2021. Vol. 16(7): e0255027.

3. Syomin F.A. et al. Effect of strain-dependent conduction slowing on the re-entry formation and maintenance in cardiac muscle: 2D computer simulation // Int J Numer Meth Biomed Engng. 2023; Vol. 39(11): e3676.

Фёдор Александрович Сёмин

• Подробнее...

Численное решение уравнения вязкоупругости в 1D и 2D с ядрами экспоненциального и абелевсого типов

Факультет аэрофизики и космических исследований МФТИ, Москва

При описании сред с ползучестью согласно линейной теории ползучести Вольтерра, применимой к широкому перечню материалов с аморфной и гетерогенной структурой, возникают операторы интегрального типа, которые дают эффект памяти среде [1]. В первых приближениях ядро интегрального оператора представимо в виде суммы из экспонент с разными коэффициентами в степени или же в виде сингулярного ядра абелевского типа. 

Некоторое время назад в работах авторов [2, 3] были обоснованы существование решения и его единственность в классическом и сильных смыслах. Отсюда возникает необходимость предложения алгоритма численного решения для волнового уравнения с эффектом памяти.

В настоящей работе на примере одномерной задачи предлагается требуемый метод.  В случае экспоненциальных ядер с помощью выделения отдельных слагаемых в ядре интеграла и разделения переменных исходное уравнения представляется в форме системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [4]. Для уравнения с ядром абелевского типа после аналогичных действий возникает дробная производная по времени.

Для выписанной системы предложен и реализован алгоритм численного решения с аппроксимацией пространственной части по схеме Лакса Вендроффа. При численном приближении дробной производной по времени в случае ядра интегрального оператора типа Абеля возникает необходимость интегрирования по всем предыдущим временным слоям для переменных описывающих память материала.

Алгоритм реализован в одно- и двухмерном случаях на языках Python и C++. Проверены аппроксимация и устойчивость. Численно определён порядок сходимости для полученных схем.

Даниил Андреевич Приказчиков

• Подробнее...