Физически информированные нейронные сети для моделирования геометрически нелинейных колебаний упругих элементов конструкций
Автор: Яна Андреевна Вахтерова
Соавторы: Федотенков Г.В.
Организация: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
В работе рассматривается применение физически информированных нейронных сетей для моделирования нестационарных колебаний упругих элементов конструкций с учетом геометрической нелинейности. Подобные задачи возникают при анализе авиационных и машиностроительных систем, работающих в условиях переменного нагружения, повышенных амплитуд колебаний и конечных перемещений, когда линейные модели уже не всегда обеспечивают корректное описание динамического отклика. В качестве базовой постановки выбрана задача о продольных колебаниях одномерного упругого стержня с закрепленными концами. Такая модель позволяет исследовать влияние геометрической нелинейности в относительно простой форме и одновременно сохраняет связь с более общими нелинейными постановками механики деформируемого твердого тела, в которых нелинейность обусловлена учетом квадратичных членов по градиентам перемещений. Численное решение строится с использованием физически информированной нейронной сети, аппроксимирующей поле перемещений как функцию пространственной координаты и времени. Обучение проводится с учетом невязки уравнения движения, начальных условий и условий закрепления. Производные вычисляются средствами автоматического дифференцирования. Условия закрепления на концах стержня вводятся непосредственно в форму аппроксимирующего решения, благодаря чему выполняются тождественно в процессе обучения. Для повышения устойчивости вычислений задача приводится к безразмерному виду, что позволяет выделить параметр, характеризующий относительный вклад геометрической нелинейности. При малых значениях этого параметра поведение системы близко к линейному волновому процессу, тогда как при увеличении амплитуды начального возмущения нелинейные эффекты начинают заметно изменять динамический отклик.
Выбор архитектуры нейронной сети и параметров обучения выполняется с использованием библиотеки Optuna. В процессе оптимизации варьируются число скрытых слоев, количество нейронов, функция активации, скорость обучения, число коллокационных точек и весовые коэффициенты отдельных составляющих функционала потерь. Это позволяет снизить объем ручной настройки модели и повысить качество аппроксимации решения. Особая трудность связана с расчетом колебаний на больших временных интервалах, когда решение содержит большое число периодов. В этом случае единая глобальная PINN-модель может сглаживать быстроосциллирующую временную зависимость и недостаточно точно воспроизводить многоцикловую динамику. Для преодоления этого ограничения рассматривается кусочно-временная схема, в которой расчетный интервал разбивается на отдельные окна, а согласование решений обеспечивается условиями непрерывности перемещения и скорости.
Результаты сопоставляются с классическим численным решением, используемым в качестве эталонного расчета. Показано, что физически информированные нейронные сети способны воспроизводить основные особенности геометрически нелинейных колебаний стержня, а кусочно-временная схема обеспечивает более устойчивое описание процесса на протяженных временных интервалах по сравнению с единой глобальной моделью. Предложенный подход может быть использован для дальнейшего развития PINN-моделей нелинейной динамики упругих элементов конструкций, включая задачи изгиба пластин и оболочек, а также прямые и обратные задачи, связанные с идентификацией параметров материала и восстановлением нестационарных нагрузок.
