Пермский национальный исследовательский политехнический университет
В сейсмически активных регионах надежность мостовых сооружений в значительной степени определяется работоспособностью опорных частей, воспринимающих эксплуатационные и динамические нагрузки. Подобные объекты охватывают многие критически важные сферы: газотурбинной установки, мосты, и гидроэлектростанции [1,2]. В конструкции мостовых сооружений ключевым элементом, обеспечивающим передачу усилий и перемещений от пролетного строения на нижележащие опоры, являются опорные части. Данные узлы мостового сооружения подвержены множественным факторам взаимодействия, таким как климатические воздействия, сейсмические нагрузки, процессы старения и деградации материалов [3]. Такие эффекты негативно влияют на срок службы и их важно учитывать в конструкции мостовых опор, так как к ним предъявлены строгие стандарты по времени безаварийной работы. Численное моделирование выполнено методом конечных элементов с учетом контактного взаимодействия элементов опорной части. Расчеты проводились в нелинейной постановке с учетом трения в контактной паре сферических поверхностей.
Рис. 1. Опорная часть моста с применением балансира
а) плоская поверхность, б) радиальная поверхность
В работе выполнено конечно-элементное моделирование двух конструктивных вариантов сферических опорных частей балансирного типа при совместном действии вертикальной и горизонтальных компонент сейсмического воздействия. Исследовано влияние фазовых соотношений между компонентами нагрузки и неравномерной осадки опоры на напряженно-деформированное состояние конструкции. Установлено, что модификация геометрии верхней плиты оказывает существенное влияние на распределение контактных напряжений и величину перемещений элементов опорной части.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 25-29-00470, https://rscf.ru/project/25-29-00470/
1. Chen S., Zhou Y., Xie K., Zhang P., Li C. Dynamic Adaptability of Spherical Bearings in Small-Span Bridges for Heavy-Haul Railways // Buildings. 2025. Vol. 15. Art. 619.
2. Ni Y., Chen L., Sun Z. Applicability of Combined Seismic Isolation Device in Seismic Design of Railway Simply Supported Beam Bridge // Appl. Sci. 2025. Vol. 15. Art. 12557.
3. Адамов А.А., Каменских А.А., Носов Ю.О. Математическое моделирование поведения современных антифрикционных полимеров // Прикладная математика и вопросы управления. 2019. № 4. С. 43-56.
Андрей Ренатович Мухаметшин
Институт Биохимической Физики им. Н.М. Эмануэля РАН
В работе методами импульсной акустической микроскопии (частота 100 МГц) и одноосного растяжения (скорость 1 мм/мин, ASTM D412 TYPE B) исследованы упругие и деформационные свойства композиционных плёнок на основе поли-(3-гидроксибутирата- со-4-гидроксибутирата) (P3HB4HB), наполненных октакальцийфосфатом (OCP, пластинчатые частицы) в концентрациях 1, 5 и 10 мас.%.
Введение OCP немонотонно изменяет упругие характеристики. Максимальный модуль Юнга по акустическим данным достигнут при 5% OCP (E = 6,70 МПа), что в 3,1 раза выше, чем у чистого полимера (2,17 МПа). При 10% OCP параметр снижается до 5,66 МПа из-за агломерации частиц (размер кластеров до 1500 нм). Коэффициент Пуассона уменьшается с 0,44 до 0,23, указывая на повышение жёсткости. Механические испытания показали снижение прочности с ростом концентрации OCP (с 11,1 до 9,3 МПа), однако относительное удлинение возрастает в 2,3 раза (до 9,73%) для образца с 1% OCP. Расхождение между акустическими и тензометрическими данными объясняется разной природой методов: акустика чувствительна к локальным свойствам, растяжение — к интегральным дефектам.
Ключевой фактор — агломерация пластинчатых частиц OCP. При 10% кластеры действуют как концентраторы напряжений, снижая прочность. При 5% достигается оптимальное распределение, обеспечивающее максимальные упругие характеристики. Полученные результаты открывают перспективы для управления деформационным поведением биоактивных композитов P3HB4HB-OCP для создания остеокондуктивных материалов с прогнозируемыми свойствами.
Финансовая поддержка. Грант РНФ № 25-13-00400.
Василий Андреевич Мерзликин
МГУ им. М. В. Ломоносова, НИИ механики МГУ
В данной работе исследуется применение метода асимптотического осреднения (МАО) к слоистым ортотропным пластинам. Широко известны теории пластин Кирхгофа-Лява и Рейсснера-Миндлина, основанные на сильных кинематических допущениях. Известно, что сильная ортотропия приводит к тем же последствиям, как и увеличение толщины пластины. В связи с этим для пластин, неудовлетворительно описываемых указанными теориями, разработано большое количество теорий 3-го порядка на аналогичной основе. МАО позволяет подойти к построению теории пластин с математической стороны, без введения гипотез.
Классическим подходом в МАО считается разложение искомых полей перемещений и напряжений в ряды по степеням малого параметра (относительная толщина пластины) вплоть до 3-й степени. Ответ о достаточности такого разложения дают впервые полученные 4-е и 5-е приближения МАО в связанной постановке задачи изгиба-растяжения. Проведено сравнение результатов с численными экспериментами по трехмерной конечно-элементной модели в линейной постановке.
На примере поперечного цилиндрического изгиба прямоугольной трехслойной пластины с симметричной укладкой слоев показано, что:
1. В плоскости пластины возникают перемещения в 3-м приближении МАО в случае, если давление действует на лицевую поверхность пластины, чего не наблюдается в классических теориях;
2. Для четвертого приближения и выше состояния изгиба и растяжения в срединной плоскости не разделяются;
3. 4-е приближение МАО вносит качественное уточнение в напряжения межслоевого сдвига (см. Рис.). А именно, распределение касательных напряжений по толщине оказывается несимметричным.
Далее, исследована двухслойная несимметричная укладка слоев пластины, а также 5-е приближение МАО для обоих типов укладок.
Максим Антонович Кузьмин
ФГАОУ ВО Московский авиационный институт
Рис. 1. Неограниченная и свободно опёртая балки
Объектами исследования являются неограниченная и свободно опёртая балки в акустической среде (см. Рис. 1.). В начальный момент времени балки находятся в невозмущённом состоянии, затем на них действует нестационарная погонная нагрузка.
Математическая модель построена на основе гипотез Чоу [1], [2]. Материал балок ортотропный, вязкоупругий, вязкость описана моделью Кельвина-Фойхта. Акустическая среда учитывается через погонную присоединённую массу и коэффициент демпфирования. Предварительное напряжение задаётся растягивающей продольной силой.
Постановка задачи включает уравнения движения в перемещениях, нулевые начальные условия, условие ограниченности решения на бесконечности для неограниченной балки и граничные условия для свободно опёртой балки.
Целью работы является определение нормальных перемещений неограниченной и свободно опёртой балок при действии нестационарной погонной нагрузки с использованием функций Грина.
Функции Грина для неограниченной балки построены с применением интегральных преобразований Лапласа по времени и Фурье по координате. Обратное преобразование Лапласа выполнялось аналитически при помощи теоремы о вычетах. Обратное преобразование Фурье реализовывалось численно с использованием интеграла обращения и метода быстро осциллирующих функций.
Для свободно опёртой балки функции Грина строились с применением преобразования Лапласа по времени и разложения в тригонометрические ряды Фурье по координате. Обратное преобразование Лапласа также выполнялось методом вычетов, а для численного решения бесконечные ряды Фурье заменялись конечными суммами. Число членов рядов подбиралось по относительной погрешности с заданной точностью.
Связь между искомыми нормальными перемещениями и действующей динамической нагрузкой задаётся интегральным оператором типа свёртки по координате и времени. Ядром данного интегрального оператора являются найденные функции Грина.
Полученное интегральное представление позволяет определять нормальные перемещения неограниченной и свободно опёртой балок при произвольном нестационарном нагружении.
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда № 25-29-01297, https://rscf.ru/project/25-29-01297.
1. Chow T.S. On the Propagation of Flexural Waves in an Orthotropic Laminated Plate and Its Response to an Impulsive Load. Journal of Composite Materials. 1971 Vol. 5. P. 306-319. DOI: 10.1177/002199837100500302.
2. Сердюк Д.О., Земсков А.В., Ершова А.Ю. Нестационарная динамика анизотропной пластины Чоу, связанной с упруго-нестационарным основанием // Научно-технические ведомости СПбГУ. Физико-математические науки. – 2025 – Т. 18 (1), - с 149-162. DOI: 10.18721/JPM.18113.
Георгий Сергеевич Петров
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Работа посвящена экспериментальному исследованию закономерностей деформирования и разрушения пултрузионного стеклопластика в процессе накопления усталостных повреждений для решения проблемы обеспечения прочности ответственных композитных конструкций, эксплуатируемых в условиях циклических воздействий [1,2].
Исследование выполнено на трубчатых образцах из полимерного пултрузионного композиционного материала, армированного стеклянными волокнами. Проведена отработка методик экспериментального исследования закономерностей механического поведения стеклопластика, подвергнутого предварительным одноосным циклическим и последующим квазистатическим воздействиям. Рассмотрены методические вопросы влияния различных скоростей нагружения и разгрузки на реализуемые жесткостные свойства исследуемого композита при кручении. Показана возможность проведения испытаний на циклическое растяжение и кручение рассматриваемых образцов с определением параметров петель гистерезиса без использования двухосевого датчика деформаций в условиях больших углов закручивания.
По результатам циклических испытаний с различными максимальными значениями напряжений в цикле построены кривые усталости. Аппроксимация экспериментальных данных степенной функцией продемонстрировала высокую описательную способность. Изучено влияние параметров предварительного одноосного циклического воздействия на остаточные прочностные и деформационные характеристики полимерного пултрузионного стеклопластика при одноосном нагружении. Установлено, что все рассмотренные режимы предварительного циклического кручения не оказывают значительного влияния на остаточные пределы прочности при растяжении и кручении, а также на значения модулей Юнга и сдвига. В случае предварительного циклического растяжения, напротив, обнаружено снижение предела прочности при растяжении вплоть до 40–50 % (рис. 1).
Анастасия Васильевна Лыкова
Факультет космических исследований МГУ имени М.В. Ломоносова
Цилиндрические оболочки широко применяются в авиации, ракетно-космической технике, строительстве и машиностроении. При эксплуатации такие конструкции могут работать в условиях сложного нагружения, поэтому для оценки их прочности и жесткости требуется корректное описание напряженно-деформированного состояния. Особое значение имеет учет геометрической нелинейности при больших перемещения.
Целью работы является исследование нелинейного деформирования цилиндрической оболочки при произвольных перемещениях, реализация расчетных методик и сравнение результатов, полученных с использованием различных теорий оболочек. В работе рассмотрены линейная теория оболочек В. Л. Бидермана, нелинейная теория А. В. Кармишина, а также уравнения эластики Л. А. Шаповалова. Для решения краевых задач использовался встроенный решатель MATLAB bvp4c. Дополнительно был реализован метод пристрелки с сегментированием расчетного интервала.
В качестве тестовых задач рассматривалось осесимметричное деформирование тонкостенной цилиндрической оболочки при различных вариантах нагружения. Были получены распределения продольного перемещения, прогиба, осевой и поперечной силы, изгибающего момента и угла поворота нормали. Сравнение результатов показало, что при малых нагрузках линейная и нелинейная постановки дают близкие значения расчетных характеристик. При увеличении нагрузок влияние нелинейных членов становится более заметным, особенно в зонах краевого эффекта. Результаты, полученные с использованием bvp4c и метода пристрелки в одной из тестовых задач, показали согласованность решений. Установлено, что при сегментировании расчетного интервала устойчивое решение достигается при восьми сегментах.
Также выполнен расчет цилиндрической оболочки, моделирующей транспортировку центрального блока второй ступени ракетоносителя «Союз-2.1а» автомобильным транспортом. Расчет проводился с учетом внутреннего давления, продольной распределенной нагрузки и опорных закреплений.
Таким образом, при больших перемещениях и повышенных нагрузках предпочтительно использование нелинейных моделей оболочек. Реализованные методики позволяют проводить сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек и могут быть использованы при расчетах тонкостенных конструкций.
1. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. – М.: Машиностроение, 1977.
2. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. – М.: Машиностроение, 1975.
3. Шаповалов Л. А. Уравнения эластики тонкой оболочки при неосесимметричной деформации // Известия АН СССР. Механика твердого тела. – 1976. – № 3.
Алина Равильевна Юзлибаева
Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Разработка летательных аппаратов с машущим крылом представляет большой интерес. Преимущества таких аппаратов связаны со значительным снижением шума, высокой маневренностью и схожесть внешнего вида с объектами живой природы. Кроме того, маховые действия крыла приводят к изменению знака горизонтальной проекции аэродинамических сил при обтекании крыла, которая для самолета составляет около половины всего сопротивления обтеканию.
С целью управления процессами и предварительного проектирования летательных аппаратов с машущим крылом разработана модель аэродинамической тяги совершающего колебательные движения крыла, проведены параметрические исследования, показано влияние собственных частот колебаний нервюр на аэромеханическую тягу крыла при колебаниях лонжерона.
В расчетах предполагалось, что силы инерции и упругости значительно превосходят аэродинамические . На рис. 1 в центре показано влияние частоты собственных колебаний нервюр на величину силы тяги и амплитуду углов ψ. Создана экспериментальная установка, позволяющая определять коэффициенты тяги машущих крыльев при различных частотах, настраивать собственные частоты колебаний и подбирать форму в соответствии с задачами максимизации тяги.
Изгиб лонжерона в «локте» необходим для увеличения подъемной силы, вызванного приближением движения лонжерона плоскопараллельному для увеличения подъемной силы, кроме того, сгибание снижает моменты сил, возникающие на крыле большого удлинения, понижая нагрузки на силовые элементы и их вес, а уменьшается площадь проекции крыла на горизонтальную плоскость при замахе и увеличивается площадь при взмахе для создания подъемной силы при нулевой или малой скорости. При этом снижаются шум и вибрации центра масс во время маховых действий. Создана модель гибридного орнитоптера (рис.1, справа), которая проходит испытания. Разработаны конструкции адаптивных крыльев [1] для улучшения взлетно-посадочных характеристик летательных аппаратов.
Иван Алексеевич Амелюшкин
Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова
Решётчатые структуры – конструкции, представляющие собой стержни, скреплённые посредством узловых соединений. Преимущества, получаемые от использования таких материалов таковы: малый вес, высокая прочность, низкая теплопроводность, простота изготовления возможности демпфирования и поглощения энергии. Перечень задач, решаемых посредством использования решётчатых конструкций, чрезвычайно широк [1].
Задача получения параметров жёсткости кубической решётчатой структуры и её эффективного аналога решена в работе [2]. Тем не менее, в решётчатых структурах в ходе нагружения могут возникать зоны образования пластических деформаций. В представленном докладе проводится анализ поведения плоской квадратной ячейки, моделируемой балочной теорией Тимошенко, подвергнутой нагружению периодическими граничными условиями. В ходе исследования строится поверхность текучести как для случая геометрически-линейной модели, так и геометрически-нелинейной. Результаты получены в ходе численного эксперимента (рис. 1) и подтверждены с помощью аналитического исследования. Показано, что учёт геометрической нелинейности активирует эффект дилатансии.
Андрей Михайлович Глуховский
МГУ имени М.В.Ломоносова
Рис. Дискообразная трещина.
Задачи, связанные с трещинами, представляют особый интерес и находят практическое применение при строительстве зданий и сооружений, в геомеханике горных пластов, при поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, оценке последствий горных ударов и землетрясений. В пространственных задачах трещина в общем случае моделируется поверхностью, на которой вектор перемещения имеет разные значения при подходе к ней по нормали с разных сторон (два берега трещины). Задачам с трещинами присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения чаще всего приходится так или иначе искать численно.
В работе рассматривается задача о растяжении упругого пространства, ослабленного дискообразной трещиной (см. Рис.). Предложен осесимметричный метод разрывных смещений, учитывающий наличие кривизны границы. Этот метод основан на представлении решения в виде ряда по аналитическим решениям базовых задач. Ранее метод разрывных смещений, учитывающий наличие кривизны границы применялся только для плоских задач с криволинейными трещинами [1]. Метод дает возможность определить поля перемещений и напряжений, а также коэффициенты интенсивности напряжений для осесимметричных задач механики разрушения. Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений является основной задачей линейной механики трещин. Их значение позволяет определить, будет ли расти трещина при заданной нагрузке.
Верификация с известным аналитическим решением показала хорошее качественное и количественное совпадение расчётов. Работа выполнена при поддержке гос.задания номер ЦИТИС: 121061000022-3.
Звягин А.В., Новов Д.Д. Метод разрывных смещений, учитывающий наличие кривизны трещины // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2023. № 3. С. 67–71.
Денис Дмитриевич Новов
АО "ОКБМ Африкантов"
Ресурс и эксплуатационная надежность оборудования реакторных установок (РУ) зависит от большого количества конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов. Одним из основных факторов, в значительной степени определяющих ресурс теплообменного оборудования РУ, является усталостное повреждение конструкционных материалов под воздействием термоциклических нагрузок. Данные воздействия являются следствием изменения давления и температуры теплоносителей в переходных режимах эксплуатации или следствием пульсаций температуры теплоносителей, обусловленных спецификой работы оборудования. Указанные процессы носят принципиально нестационарный, стохастический характер и оказывают негативное влияние на ресурс оборудования, исчерпание которого происходит при совместном действии механизмов мало- и многоцикловой термоусталости [1].
В АО «ОКБМ Африкантов» разработана методика, позволяющая проводить оценку влияния стохастических термоциклических нагрузок на ресурсные характеристики оборудования РУ. Численными методами с использованием программы для ЭВМ ANSYS и программами расчета ресурса последовательно решаются задачи: «гидродинамика – тепломассоперенос – напряженно-деформирование состояние (НДС) – ресурс».
Необходимым этапом расчета температурного состояния оборудования, функционирующего в условиях стохастических температурных пульсаций с использованием CFD программ, является этап верификации. С этой целью в гидродинамической лаборатории АО «ОКБМ Африкантов», оснащенной самыми современными средствами регистрации температур и скоростей, проведен большой объем методических экспериментальных исследований.
Для наиболее обоснованных и точных оценок долговечности при термопульсациях следует располагать экспериментальными данными о кинетике накопления усталостных повреждений при максимально возможных градиентах температур теплоносителей, соответствующих штатным параметрам РУ. Для решения указанной задачи АО «ОКБМ Африкантов» проведены исследования кинетики накопления усталостных повреждений в материале экспериментальных моделей (см. Рис. 1) в результате нагружения температурными пульсациями случайного характера, обусловленными смешением теплоносителей с различной температурой, на уникальном, специально сконструированном стенде.
Учитывая результаты расчетных исследований и контроля кинетики накопления усталостных повреждений в материале экспериментальной модели, были проведены её металлографические исследования, которые подтвердили достоверность результатов расчета ресурса.
1. Бесчеров Д.Е., Большухин М.А., Будников А.В., Ереев М.Н., Лебедев В.В., Марков А.С., Панов В.А., Патрушев Д.Н., Свешников Д.Н., Скулкин Н.Г., Шишулин Д.Н. Отчет. Расчетно-экспериментальные исследования по развитию и верификации технологии анализа долговечности конструкций при воздействии стохастических термопульсаций. Этап 2017 г. -130 с.
Дмитрий Евгеньевич Бесчеров
Институт математики, механики и информатики, КубГУ, Краснодар
Моделирование распространения бегущих волн в упругих материалах необходимо при решении различных задач, таких как мониторинг состояния конструкций (Structural Health Monitoring, SHM), высокоточное позиционирование, активная виброзащита. Идея селективного возбуждения заключается в выборе режима подачи электрического напряжения на систему пьезоактуаторов таким образом, чтобы в волноводе, к которому они прикреплены, возбуждались требуемые бегущие волны и гасились нежелательные моды. Для этого при моделировании необходимо учесть взаимное влияние пьезоактуаторов через волновод, так как простой суперпозиции сигналов от отдельных датчиков недостаточно.
Рассматривается двумерная контактная задача о взаимодействии системы тонких гибких пьезонакладок с упругим волноводом (см. Рис. а). В области контакта выполняется равенство напряжений и смещений, деформация пьезоактуаторов описывается обобщенным законом Гука со связным электрическим полем. Для аналитического преобразования системы к виду, пригодному для решения известными численными методами, используются интегральные и асимптотические представления волновых полей через элементы матрицы Грина слоя и решение отдельных частей задачи в трансформантах Фурье [1-2]. Задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений, которая дискретизируется по методу Бубнова-Галеркина.
Разработан алгоритм расчета волновых полей в рассматриваемой системе при различных режимах подачи электрического напряжения на пьезоактуаторы с учетом их взаимодействия. Алгоритм реализован в виде программного комплекса и верифицирован на известных данных [1] (см. Рис. б). Построена МКЭ-модель задачи, результаты численного решения ей соответствуют.
Работа выполняется под руководством профессоров Е.В. Глушкова и Н.В. Глушковой в рамках проекта РНФ №24-11-00140.
1.Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Зееманн В., Кваша О.В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. 2006. Т. 52, № 4. С. 470-479.
2.Халтурина, Д.Д., Свитин Е.В. Моделирование взаимодействия пьезоэлектрического актуатора с упругим слоем для вычисления электромеханического импеданса // Прикладная математика: современные проблемы математики, информатики и моделирования : Материалы VII Всероссийской научно-практической конференции, молодых ученых. 2025. Т. 1, С. 80–84.
Дарья Дмитриевна Халтурина
Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)
В работе рассматривается стационарная краевая задача для тонкой прямоугольной мембраны, находящейся под действием поперечной нагрузки и натянутой с постоянным усилием. Подобные задачи относятся к классическим задачам теории упругости, однако их исследование остаётся актуальным в связи с развитием современных численных методов, в том числе методов глубокого машинного обучения, применяемых для решения дифференциальных уравнений при различных сочетаниях граничных условий и внешних воздействий.
Целью исследования является оценка возможностей применения физически информированных нейронных сетей — Physics-Informed Neural Networks, PINN — для моделирования статической деформации прямоугольной мембраны, а также сравнение полученных численных результатов с аналитическими решениями для ряда частных постановок задач.
В работе анализируются различные варианты граничных условий: полное закрепление всех сторон мембраны, наличие одной или двух свободных кромок, а также постановки, в которых нагрузка задаётся вдоль линии на границе области. В качестве характерных типов внешнего воздействия рассматриваются одномодовая нагрузка, равномерно распределённая нагрузка, локализованная нагрузка и сосредоточенное воздействие.
Аналитическая часть исследования основана на классических методах математической физики. Для задач с закреплёнными сторонами используется сведение к задаче Пуассона, построение функции Грина и представление решения в виде разложения по собственным функциям. Для постановок со свободными сторонами, а также для случаев с заданной линией нагрузки на кромке, соответствующие представления модифицируются с учётом изменения системы базисных функций и спектральных параметров. Это позволяет получить аналитические решения для ряда краевых задач и использовать их в дальнейшем для проверки корректности численного подхода.
Численная реализация выполнена на языке Python с применением библиотеки PyTorch. В рамках PINN-подхода искомый прогиб мембраны аппроксимируется полносвязной нейронной сетью. Обучение сети проводится путём минимизации функционала потерь, включающего невязку дифференциального уравнения во внутренних точках расчётной области и невязку граничных условий на кромках мембраны. Для вычисления производных используется автоматическое дифференцирование.
Разработанная программа позволяет задавать различные типы нагрузок и комбинации граничных условий, а также проводить сравнение нейросеточного решения с аналитическим решением на расчётной сетке. Для количественной оценки точности используются среднеквадратичная ошибка RMSE, максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка.
Отдельное внимание уделено подбору гиперпараметров модели. Для этой цели применяется библиотека Optuna, обеспечивающая автоматический выбор числа скрытых слоёв, количества нейронов, функции активации, скорости обучения и весовых коэффициентов при отдельных слагаемых функционала потерь. После подбора параметров выполняется финальное обучение нейронной сети с использованием двухэтапной схемы оптимизации: сначала применяется алгоритм Adam, затем метод L-BFGS.
Использование Optuna повышает устойчивость процесса обучения и снижает объём ручной настройки модели, что особенно важно для PINN-подхода, чувствительного к выбору архитектуры нейронной сети и параметров оптимизации. Полученные результаты показывают, что физически информированные нейронные сети могут быть эффективно использованы для решения задачи о статической деформации прямоугольной мембраны. Наличие аналитических решений для отдельных случаев позволяет проводить верификацию нейросетевой аппроксимации и оценивать точность предложенного подхода.
Дальнейшее развитие работы предполагает распространение рассмотренного метода на динамическую задачу колебаний прямоугольной мембраны.
Кирилл Владимирович Вестяк
Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского
При расчете аэродинамических характеристик воздушного винта обычно принимается, что лопасти являются абсолютно жесткими, и моделирование проводится без учета изменения их формы. В то же время влияние деформаций может оказаться существенным: расхождение в получаемых величинах тяги и мощности винта может составлять свыше 10% в широком диапазоне режимов работы винта. Более того, учет этого эффекта может приводить к изменению характеристик как в большую [1], так и в меньшую [2] сторону по сравнению со случаем абсолютно жестких лопастей. С другой стороны, трудоемкость сопряженных расчетов существенно выше аналогичных «однодисциплинарных» задач, что ограничивает применение сеточных методов при параметрических исследованиях. Вследствие этого первоначальный анализ требуется проводить с использованием методов, обладающих низкими вычислительными затратами и удовлетворительной точностью.
В данной работе аэродинамические силы моделировались по вихревой теории воздушного винта, упругие деформации рассчитывались по балочной теории с учетом центробежных сил [3]. Стационарный сопряженный расчет проводился методом последовательных нагружений.
По описанной методике был проведен расчет модели тематического 6-лопастного воздушного винта, имеющей однородные полнотелые лопасти с прямой осью жесткости. Проведено сравнение результатов расчетов в случае упругих и абсолютно жестких лопастей с данными испытаний в аэродинамической трубе. Показано, что учет деформаций лопастей позволил повысить точность прогнозирования тяги и мощности.
1. Moehren F., Bergmann O., Janser F., Braun C. On the influence of elasticity on propeller performance: a parametric study // CEAS Aeronautical Journal. 2023. Vol. 14. № 2. P. 311–323.
2. Rotundo C. D., Sinnige T., Sodja J. Aeroelastic Model for Design of Composite Propellers // AIAA SciTech 2024 Forum. 2024. DOI: 10.2514/6.2024-2677.
3. Некипелов В.С. Об учете влияния упругих деформаций на аэродинамические характеристики воздушного винта с прямыми однородными лопастями // Ученые записки ЦАГИ. 2025. Т. 56. № 3. С. 51–63.
Владислав Сергеевич Некипелов
МФТИ (НИУ)
Моделирование вязкоупругих материалов с долгой памятью (бетон, полимеры, композиты) требует вычисления интегральных функционалов свёртки. Классический SOE-подход (Sum-Of-Exponentials) сводит линейный оператор памяти к рекуррентным переменным, снижая сложность с O(T2) до O(T N). Однако в нелинейных задачах с накоплением повреждения ядро памяти зависит от текущих напряжений (t) и повреждённости p(t), что делает стандартный SOE-метод неприменимым.
В работе предложено обобщение SOE-подхода на нелинейные операторы вида
F(t)=0tA(t-, (), p())(t)d
Доказана теорема об аппроксимации ядра суммой экспонент с коэффициентами-функциями:
A(s, , p)i=1Nai(, p)e-si
Введены рекуррентные переменные hi(t), удовлетворяющие ODE hi=-hi/i+ai(, p), что позволяет вычислять свёртку без хранения истории. Разработаны автоматический выбор числа экспонент N и постоянных времени i на основе SVD-разложения матрицы Ганкеля, а также устойчивая полунеявная схема интегрирования.
Численные эксперименты проведены для трёх моделей повреждения: Качанова–Работнова, Lemaître и Chaboche. На рисунке показано ускорение рекурсивного метода относительно прямого интегрирования (эталон O(T2)). Для модели Качанова–Работнова при числе шагов Nt=12801 достигнуто ускорение 1898 при максимальной относительной ошибке 0,76%. Модели Lemaître и Chaboche дали ускорение 1437 и 1332 соответственно. Ошибка остаётся ограниченной во времени и не накапливается.
Таким образом, предложенный метод снижает асимптотическую сложность с квадратичной до линейной, сохраняя высокую точность и устойчивость, и готов к внедрению в пакеты вычислительной механики.
Даниил Андреевич Приказчиков
Уральский федеральный университет; Институт машиноведения УрО РАН
Металлические оболочки широко применяются как конструктивные элементы в различных отраслях техники. Такие элементы могут эксплуатироваться в контакте с агрессивными водородосодержащими средами. Негативное влияние агрессивной среды на механические свойства металлов – важный фактор, который необходимо учитывать при оценке ресурса. Чтобы определить ресурс металлической оболочечной конструкции, работающей в водородосодержащей среде, необходимо [1, 2]:
1) выбрать модель, позволяющею определить нестационарное распределение температуры и распределение концентрации водорода в оболочке;
2) выбрать модель, позволяющею определить напряженное состояние оболочки при термомеханическом нагружении;
3) определить механические параметры материала оболочки при механическом нагружении в условиях контакта с агрессивной средой;
4) выбрать критерий деградации свойств материала и определить ресурс оболочечной конструкции.
В работе используется разработанный математический аппарат на основе вариационной формулировки метода конечных элементов для решения задач теплопроводности. Этот же подход применяется для решения задачи диффузии водорода в металле. Для описания тонкостенной оболочки используется классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа — Лява. Действующие напряжения определяются путём решения физически нелинейной краевой задачи для оболочки вращения. Используется метод интегрирования уравнений для оболочек с дискретной ортогонализацией С.К. Годунова. В работе учитывается изменение механических свойств металла под действием водорода. Определение ресурса металлической конструкции демонстрируется на примере защитной оболочки колпаковой печи (см. Рис.), предназначенной для высокотемпературного отжига стали.
Анастасия Сергеевна Ходак
