Конфигурации кривых, притягивающих собственные частоты протяжённых одномерных систем
Автор: Василий Владимирович Веденеев
Соавторы: А.Б. Подопросветова
Организация: НИИ механики МГУ
Известно [1], что комплексные собственные частоты одномерных систем большой протяжённости концентрируются вокруг асимптотической кривой в комплексной плоскости, определяемой дисперсионным уравнением системы. В случае, если часть такой кривой лежит в верхней полуплоскости комплексной плоскости, то система достаточно большой длины неустойчива; такая неустойчивость называется глобальной. Глобальная неустойчивость исследовалась в физических системах самой разной природы: течение Пуазейля в трубе конечной длины, термокапиллярная конвекция, струйные течений жидкости, упругие пластины в потоке несжимаемой жидкости, спиральные волны, устойчивость пламени, течение Куэтта магнитной жидкости, вибрации труб с движущейся внутри жидкостью, флаттер панелей обшивки сверхзвуковых летательных аппаратов, течения над углублениями и при исследовании других задач [2, 3].
В настоящей работе уравнение кривой, служащей аттрактором собственных значений при больших размерах системы, обобщается на случай произвольных собственных частот (ранее оно было получено лишь для участков, расположенных наиболее высоко в комплексной плоскости). Проведен анализ локальной топологии таких кривых и её устойчивости по отношению к малому изменению параметров задачи. Устойчивыми являются регулярная точка кривой, точка разветвления кривой и конец кривой – точка ветвления функции k(ω). Рассмотрены случаи распада неустойчивой локальной топологии на устойчивые при изменении параметров задачи, проведена классификация возможных бифуркаций кривой. Изучены наиболее характерные устойчивые конфигурации кривой в окрестности мнимой оси.
Полученные результаты продемонстрированы на двух задачах: флаттер пластины в сверхзвуковом потоке газа [4] и колебания мягкой эластичной трубки, содержащей текущую жидкость [5]. Второй случай особенно интересен, т.к. содержит несколько нетривиальных бифуркаций топологии асимптотических кривых. В обоих случаях численно прослежено, как удлинение системы приводит к движению и взаимодействию собственных частот в комплексной плоскости, и их концентрации около асимптотических кривых.
Исследование В.В. Веденеева выполнено за счет гранта РНФ № 20-19-00404.
1. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний// ПММ. 1966. Т. 30, No 1. С. 148–153.
2. Doare O., de Langre E. The role of boundary conditions in the instability of one-dimensional systems// Eur. J. Mech. B/Fluids. 2006. V. 25, N 6. P. 948–959.
3. В. В. Веденеев. О применении асимптотического метода глобальной неустойчивости в задачах аэроупругости// Труды МИАН. 2016. Т. 295. С. 292-320.
4. В. В. Веденеев. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.
5. A. Podoprosvetova, V. Vedeneev. Axisymmetric instability of elastic tubes conveying power-law fluids// Journal of fluid mechanics. 2022. Vol. 941. A61.
