МНОЖЕСТВО ДОСТИЖИМОСТИ МАШИНЫ ДУБИНСА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ НА УПРАВЛЕНИЕ
Автор: Георгий Игоревич Трубников
Соавторы: В. С. Пацко, А. А. Федотов
Организация: Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия
Математическая “машина Дубинса” — объект, передвигающийся на плоскости x, y с постоянной скоростью. Управлением u(t) является угловая скорость (производная по времени от функции φ(t)). Интеграл от квадрата управления на оговоренном промежутке [0; tf ] не должен превышать числа μ > 0. Каждой функции u(∙) соответствует движение x(∙), y(∙), и оно задает форму тонкого нерастяжимого стержня, закреплённого под определёнными углами на своих концах. Число μ ограничивает упругую энергию стрежня [1, 2]. Полагаем x0 = y0 = φ0 = 0. Множество достижимости G(tf ) при tf > t0 = 0 определяем как совокупность всех точек (x , y, φ)T, в каждую из которых в момент tf приводит некоторое допустимое управление. Цель работы — исследование трехмерного множества достижимости G(tf ).
Любое ненулевое управление, ведущее на границу множества G(tf ), доставляет равное µ минимальное значение функционала ∫u(t)2dt при фиксированных краевых условиях. Соответствующие экстремальные движения называются эластиками Эйлера.
Исследуя множество G(tf ), опираемся на опыт [3] построения множества достижимости для случая геометрических ограничений |u(t)| ≤ μ. Существенные трудности связаны с необходимостью использования эллиптических функций.
На рис. 1 слева показано трехмерное множество G(tf ), просчитанное для μ = 100, tf = 0.95. Цветом выделены участки границы, на которые ведут различные типы управлений: U1 — положительное управление (синий цвет), U4 — отрицательное управление (желтый цвет), U3 — управление с одним моментом смены знака с “+” на “−” (зеленый цвет), U2 — управление с одним моментом смены знака с “−” на “+” (фиолетовый цвет). Точка z0(tf), в которую ведет нулевое управление, лежит на стыке четырех указанных участков. Множество G(tf ) не является односвязным: имеется полость, ему не принадлежащая. Чтобы показать ее, на рис. 1 справа представлено сечение множества G(tf ) при φ = 0. От оси x отходят симметричные друг другу кривые A3 и A2. Их дуги до точки P1 первого пересечения дают “внешнюю” границу сечения. Дуги A3 и A2 от точки P1 до точки P2 второго пересечения лежат во внутренности сечения. Кривая A6 и примыкающие к ней участки кривых A3 и A2 после точки P2 составляют границу “дырки”, не принадлежащей сечению. Пунктиром показаны траектории четырех движений, ведущих на границу сечения (а стало быть, и на границу трехмерного множества G(tf )). Такие кривые представляют собой глобально оптимальные эластики Эйлера.