ОБОБЩЕННЫЕ ДИАГРАММЫ СМЕЙЛА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К КАЧЕСТВЕННОМУ АНАЛИЗУ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ С СИММЕТРИЕЙ
Автор: Александр Владиленович Карапетян
Организация: Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва
На рисунке: Волчок тип-топ. Диаграмма Смейла. Переворот волчка.
Обсуждается проблема качественного анализа динамики диссипативных механических систем с симметрией на основе обобщенных диаграмм Смейла. Классическая теория Смейла [1] разработана для консервативных механических систем с симметрией. Такие системы допускают интеграл энергии и интегралы Нетер. Критические уровни интеграла энергии на фиксированных уровнях интегралов Нетер образуют в пространстве констант этих интегралов бифуркационное по Смейлу множество. На этом множестве происходят перестройки топологического типа областей возможности движения системы. Очевидно, все точки пространства констант интегралов инвариантны относительно фазового потока системы.
В лекции обсуждается проблема распространения теории Смейла на случай диссипативныхмеханических систем с симметрией [2,3]. В этом случае энергия не возрастает вдоль движений системы. Показано, что критические уровни начального значения энергии на фиксированных уровнях интегралов Нетер по-прежнему задают в пространстве этих постоянных (начальное значение энергии и постоянные интегралов Нетер) бифуркационное по Смейлу множество.Для неконсервативного случая, в отличие от классического случая консервативных систем, инвариантны относительного фазового потока только точки, лежащие на бифуркационном по Смейлу множестве. Все остальные точки эволюционируют вдоль подпространства постоянных интегралов Нетер в сторону уменьшения энергии, асимптотически приближаясь к бифуркационному по Смейлу множеству. Таким образом, обобщенные диаграммы Смейла позволяют находить множество предельных движений диссипативных систем с симметрией по начальному значению энергии системы и значениям интегралов Нетер. Общие результаты иллюстрируются на примерах построения диаграмм Смейла как для консервативных (гироскоп в кардановом подвесе [4]), так и для неконсервативных (волчок тип-топ [3]) систем.
1. Смейл С. Топология и механика. Успехи мат. наук. 1972. Т.27. №2. С.77-120
2. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998.
3. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики диссипативных систем с симметрией на основе обобщенных диаграмм Смейла. В сб. «Современные проблемы математики и механики»М.: МГУ. 2009. Т.2. Механика. Вып.2.
4. Карапетян А.В., Чаплыгина М.П. Бифуркационный анализ динамики гироскопа в кардановом подвесе. Вестник МГУ. Сер.1. Мат.Мех. 2019. №3. С.73-76.