Регулярные решения для трещин в теории упругости с учетом нелокальных и градиентных эффектов
Автор: Соляев Юрий Олегович
Организация: Институт прикладной механики Российской академии наук; Московский авиационный институт, Москва
Рис. 1. Распределение нормированных напряжений вблизи вершины трещины (x < 0 – поверхность трещины) в решении градиентной теории упругости [5]. Черный пунктир – классическое решение.
В классической теории упругости существует широкий класс задач, решения которых содержат сингулярные поля напряжений, деформаций и перемещений. Возникновение бесконечностей в большинстве таких решений следует считать результатом, не соответствующем физике рассматриваемых явлений, но следствием выбранной постановки задачи. В инженерной практике большинство таких задач удается регуляризовать, выбирая подходящую формулировку задачи, например, вводя скругления в зонах острых вырезов и т.п. Однако, для задач с трещинами, а также, например, для задач с дислокациями, классические подходы основаны на непосредственной работе с сингулярными решениями теории упругости. По сути, единственным подходом в механике разрушения, который позволяет устранить сингулярность в вершине трещины и учесть сглаженную («равновесную») форму раскрытия, является введение предположения о наличии когезионных сил сцепления на берегах трещины в рамках моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла и Баренблатта [1].
В последние десятилетия было показано, что альтернативным подходом к получению регулярных решений в сингулярных задачах теории упругости является использование неклассических нелокальных и градиентных теорий, которые предполагают, что напряжения в данной точке среды зависят от деформаций не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности [2-4].
В докладе обсуждаются различия, которые возникают в решениях для задач о трещинах в упругих телах при использовании различных неклассических теорий. Обсуждается возможность естественного учета эффекта когезионных напряжений (рис. 1), возникающих на берегах трещины, как следствия более сложной формулировки граничных условий в градиентной теории упругости. В то же время, обсуждается и возможность отсутствия таких когезионных эффектов в вариантах градиентных теорий со специальными определяющими соотношениями, а также в нелокальных теориях, которые предполагают выполнение стандартных граничных условий по напряжениям на берегах трещины. Обсуждаются преимущества, которые обеспечивает применение неклассических теорий по сравнению с классическими подходами, а также методы идентификации возникающих дополнительных материальных констант.
1. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity//Appl. Mech. Rev. 2004. Vol. 57. P. 251-298.
2. В.В. Васильев, С.А. Лурье. Новый метод исследования прочности хрупких тел с трещинами // Деформация и разрушение материалов, 2019, Т. 9. С. 12-19.
3. M.Y. Gutkin, E.C. Aifantis. Dislocations in the theory of gradient elasticity // Scripta Materialia. 1999. Vol. 40. № 5. P. 559-566.
4. P.A. Gourgiotis, H.G. Georgiadis. Plane-strain crack problems in microstructured solids governed by dipolar gradient elasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Vol. 57. № 11. P. 1898-1920.
5. Solyaev Y., Dobryanskiy V. Enriched C1 Finite Elements for Crack Problems in Simplified Strain Gradient Elasticity//International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2025. Т. 126. С. e70081.
