ТЕНЗОР ЧЕТВЕРТОГО РАНГА ДЛЯ ОПИСАНИЯ СТРУКТУРЫ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

Автор: Елена Вячеславовна Семенова

Соавторы: Е.В. Семенова, К.Р. Шарафутдинова, О.А. Саченков

Организация: Казанский (Приволжский) федеральный университет

Механические свойства в многофазных или поврежденных материалах тесно связаны с микроструктурой. Степень ориентации микроструктуры в материале является фундаментальной величиной, представляющей большой интерес при изучении механических свойств объектов как природного, так и искусственного происхождения. Для характеристики степени ориентации материалов Салтыковым [1] были использованы методы стереологии для получения характеристик объема по плоским сечениям. Позже эта теория была развита, и было показано, что подобное распределение может быть описано эллипсоидом, квадратичная форма которого составляет тензор второго ранга – тензор анизотропии [2, 3]. В работе рассмотрены методы описания структурных свойств материалов тензорами более высокого порядка.

Для описания неоднородной среды был использован MIL-метод, обобщенный на трехмерный случай. Это распределение представляет собой функциональную зависимость, интегрируемую с квадратом, которая может быть разложена в ряд Фурье. Были рассмотрены три члена разложения. Первое слагаемое – суть скаляр, в нашем случае описывающая пористость всего образца. Второе слагаемое – тензор второго ранга, который характеризует оси ортотропии или степень вытянутости осредненной поры. Третье слагаемое – тензор четвертого ранга, он и представляет особый интерес, так как потенциально может связать характеристику распределения с тензором модулей упругости. 

Для тензора четвертого ранга была рассмотрена тензорная поверхность, которая является поверхностью 4 порядка. Поэлементное сравнение тензорных поверхностей тензора четвертого ранга и тензора упругих констант показало, что однозначно можно связать лишь 9 из 21 компонент соответствующих тензоров. Остальные же компоненты являются линейными комбинациями.

Работа выполнена в рамках программы стратегического академического лидерства «Приоритет-2030».

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект № 20-01-00535.

1. Салтыков С.А. Стереометрическая металлография. - М.: Металлургия, С. 1976. – 270.

2. Киченко А.А, Тверье В.М, Няшин Ю.И. Экспериментальное определение тензора структуры трабекулярной костной ткани //Российский журнал биомеханики. 2011. Т. 15, № 4. C. 78–93.

3. Няшина Ю.И., Подгайца Р.М. Экспериментальные методы в биомеханике: учебное пособие // под редакцией. – Пермь: Изд-во Пермского государственного технического университета, С. 2008. – 400.