УЧЕТ ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И КОЛЛЕКТИВНОГО ВЛИЯНИЯ ФАЗ НА ПРОЦЕСС ГОМОГЕНИЗАЦИИ
Автор: Алексей Владимирович Мишин
Организация: ИТПМ, НГУ
Одним из важных аспектов при аналитическом моделировании распространения поля по гетерогенной среде является определение эффективных коэффициентов переноса, входящих в осредненные уравнения и отображающих микроструктуру системы (геометрию и физические свойства фаз). Для решения данной задачи необходимо учесть коллективное влияние фаз на распространяющееся исследуемое поле по гетерогенной среде, что имеет отношение к задаче многих тел. Задача многих тел в гетерогенной среде связана с описанием влияния на поле конфигурации внутренних границ, разделяющих занятые фазами области с разными физическими свойствами. Сложность при построении такой модели заключается в поиске математического аппарата, отображающего влияние характерных масштабов фаз в среде и их физических свойств на поведение поля в системе. Широкий математический аппарат, содержащийся в существующих подходах [1], [2], либо не учитывает границы раздела фаз, либо вводит их упрощенно (через феноменологические коэффициенты или периодическую структуру). Это ограничивает возможности анализа влияния микроструктуры гетерогенной среды на распространение поля по ней. В работе проводится получение эффективных коэффициентов переноса гетерогенной среды на основе формализма обобщенной производной, отображающей внутренние границы гетерогенной среды. Формула для обобщенной производной является следствием применения вариационного аппарата к функционалу энергии для гетерогенной среды с учетом индикаторной функции, характеризующей фазу в точке. Впервые обобщенная производная введена в рамках функционального анализа в работе [3], а для анализа гетерогенных сред она впервые введена в работе [4]. На основе полученного модифицированного оператора и проведенного осреднения ищется решение на осредненную функцию Грина. Исходя из анализа интегро-дифференциального уравнения с разрывами и введенных гипотез решение имеет вид потенциала Юкавы, характеризующего с физической точки зрения переходный слой, вызванный экранированием зарядов. Данный потенциал направлен выразить решение задачи многих тел в гетерогенной среде и отобразить коллективное влияние фаз на распространяющееся поле по системе. На основе найденного решения эффективные коэффициенты переноса интегрально учитывают микроструктуру системы в явном виде.
1. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.
2. Хорошун Л.П. Математические модели и методы механики стохастических композитных материалов // Прикладная механика. 2000. №10 Том 36. С. 30-62.
3. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Пер. с франц. М.: Мир, 1965.
4. Мишин А.В. Обобщенная производная и ее использование для анализа микроструктуры гетерогенной среды. SIBJIM, 2021, Т.24, №4, с. 79—96; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.406