Черновские аппроксимации решений уравнений квантовой механики
Автор: Иван Дмитриевич Ремизов
Организация: НИУ ВШЭ
В докладе будут представлены полученные автором доклада результаты, занимающие промежуточное положение между квантовой механикой, теорией дифференциальных уравнений и вычислительной математикой. Все эти результаты посвящены линейному уравнению Шрёдингера. Рассмотрено два случая: многомерное уравнение Шрёдингера с гамильтонианом вида «минус лапласиан плюс потенциал», и одномерное уравнение Шрёдингера с гамильтонианом, содержащим производные сколь угодно высокого порядка, умноженные на переменные коэффициенты. Причём второй случай, если считать коэффициенты постоянными, может рассматриваться как запись уравнения Шрёдингера в импульсном представлении. Доказаны формулы, выражающие решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера через начальное условие и коэффициенты уравнения. Решение представляется в виде предела сходящихся к нему черновских аппроксимаций, называемых так потому, что ключевую роль в их построении играет теорема Чернова об аппроксимации операторных полугрупп. Эту теорему можно считать далеко идущим бесконечномерным обобщением теоремы о «втором замечательном пределе» из элементарного курса математического анализа. Полученные аппроксимации могут быть использованы в теоретических построениях, а также для численного нахождения решения задачи Коши. Предлагаемый метод имеет весьма большую общность, однако даёт достаточно громоздкие формулы для решения.
Центральное положение в этих методах занимает теория операторных полугрупп. Операторная полугруппа – это прямое обобщение понятия экспоненты на бесконечномерные пространства.
Так как по правилам конференции необходимо сопроводить тезисы доклада рисунком, а чертежей или графиков в работе не возникало, то в качестве рисунка прилагается эмблема конференции по операторным полугруппам One-Parameter Semigroups of Operators (OPSO), организованная по инициативе автора доклада в 2021 и 2022 годах, ссылки на сайты конференции следующие: https://nnov.hse.ru/bipm/dsa/opso2021 https://nnov.hse.ru/bipm/dsa/opso2022. Все желающие приглашаются к участию в этой конференции в 2023 году.
Работа выполнена при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ соглашение № 075-15-2022-1101
