Моделирование статической деформации прямоугольной мембраны с использованием физически информированных нейронных сетей

Автор: Кирилл Владимирович Вестяк

Соавторы: Вахтерова Я. А.

Организация: Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)

В работе рассматривается стационарная краевая задача для тонкой прямоугольной мембраны, находящейся под действием поперечной нагрузки и натянутой с постоянным усилием. Подобные задачи относятся к классическим задачам теории упругости, однако их исследование остаётся актуальным в связи с развитием современных численных методов, в том числе методов глубокого машинного обучения, применяемых для решения дифференциальных уравнений при различных сочетаниях граничных условий и внешних воздействий.

Целью исследования является оценка возможностей применения физически информированных нейронных сетей — Physics-Informed Neural Networks, PINN — для моделирования статической деформации прямоугольной мембраны, а также сравнение полученных численных результатов с аналитическими решениями для ряда частных постановок задач.

В работе анализируются различные варианты граничных условий: полное закрепление всех сторон мембраны, наличие одной или двух свободных кромок, а также постановки, в которых нагрузка задаётся вдоль линии на границе области. В качестве характерных типов внешнего воздействия рассматриваются одномодовая нагрузка, равномерно распределённая нагрузка, локализованная нагрузка и сосредоточенное воздействие.

Аналитическая часть исследования основана на классических методах математической физики. Для задач с закреплёнными сторонами используется сведение к задаче Пуассона, построение функции Грина и представление решения в виде разложения по собственным функциям. Для постановок со свободными сторонами, а также для случаев с заданной линией нагрузки на кромке, соответствующие представления модифицируются с учётом изменения системы базисных функций и спектральных параметров. Это позволяет получить аналитические решения для ряда краевых задач и использовать их в дальнейшем для проверки корректности численного подхода.

Численная реализация выполнена на языке Python с применением библиотеки PyTorch. В рамках PINN-подхода искомый прогиб мембраны аппроксимируется полносвязной нейронной сетью. Обучение сети проводится путём минимизации функционала потерь, включающего невязку дифференциального уравнения во внутренних точках расчётной области и невязку граничных условий на кромках мембраны. Для вычисления производных используется автоматическое дифференцирование.

Разработанная программа позволяет задавать различные типы нагрузок и комбинации граничных условий, а также проводить сравнение нейросеточного решения с аналитическим решением на расчётной сетке. Для количественной оценки точности используются среднеквадратичная ошибка RMSE, максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка.

Отдельное внимание уделено подбору гиперпараметров модели. Для этой цели применяется библиотека Optuna, обеспечивающая автоматический выбор числа скрытых слоёв, количества нейронов, функции активации, скорости обучения и весовых коэффициентов при отдельных слагаемых функционала потерь. После подбора параметров выполняется финальное обучение нейронной сети с использованием двухэтапной схемы оптимизации: сначала применяется алгоритм Adam, затем метод L-BFGS.

Использование Optuna повышает устойчивость процесса обучения и снижает объём ручной настройки модели, что особенно важно для PINN-подхода, чувствительного к выбору архитектуры нейронной сети и параметров оптимизации. Полученные результаты показывают, что физически информированные нейронные сети могут быть эффективно использованы для решения задачи о статической деформации прямоугольной мембраны. Наличие аналитических решений для отдельных случаев позволяет проводить верификацию нейросетевой аппроксимации и оценивать точность предложенного подхода.

Дальнейшее развитие работы предполагает распространение рассмотренного метода на динамическую задачу колебаний прямоугольной мембраны.