ОБОБЩЕНИЕ SOE-ПОДХОДА НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЯЗКОУПРУГОСТИ С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ
Автор: Даниил Андреевич Приказчиков
Организация: МФТИ (НИУ)
Моделирование вязкоупругих материалов с долгой памятью (бетон, полимеры, композиты) требует вычисления интегральных функционалов свёртки. Классический SOE-подход (Sum-Of-Exponentials) сводит линейный оператор памяти к рекуррентным переменным, снижая сложность с O(T2) до O(T N). Однако в нелинейных задачах с накоплением повреждения ядро памяти зависит от текущих напряжений (t) и повреждённости p(t), что делает стандартный SOE-метод неприменимым.
В работе предложено обобщение SOE-подхода на нелинейные операторы вида
F(t)=0tA(t-, (), p())(t)d
Доказана теорема об аппроксимации ядра суммой экспонент с коэффициентами-функциями:
A(s, , p)i=1Nai(, p)e-si
Введены рекуррентные переменные hi(t), удовлетворяющие ODE hi=-hi/i+ai(, p), что позволяет вычислять свёртку без хранения истории. Разработаны автоматический выбор числа экспонент N и постоянных времени i на основе SVD-разложения матрицы Ганкеля, а также устойчивая полунеявная схема интегрирования.
Численные эксперименты проведены для трёх моделей повреждения: Качанова–Работнова, Lemaître и Chaboche. На рисунке показано ускорение рекурсивного метода относительно прямого интегрирования (эталон O(T2)). Для модели Качанова–Работнова при числе шагов Nt=12801 достигнуто ускорение 1898 при максимальной относительной ошибке 0,76%. Модели Lemaître и Chaboche дали ускорение 1437 и 1332 соответственно. Ошибка остаётся ограниченной во времени и не накапливается.
Таким образом, предложенный метод снижает асимптотическую сложность с квадратичной до линейной, сохраняя высокую точность и устойчивость, и готов к внедрению в пакеты вычислительной механики.
