Рациональная аппроксимация ядра свертки решения волнового уравнения в канале с помощью нейронной сети для построения прозрачных граничных условий.

Автор: Данила Олегович Родионов

Организация: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, Кафедра вычислительной механики

Среди большого количества методов построения искусственных граничных условий на открытых границах особое место занимают так называемые прозрачные граничные условия (ПГУ), основанные на преобразовании Лапласа по времени и аппроксимация ядра свертки полученного точного граничного условия суммой экспонент. В пространстве изображений преобразования Лапласа ей соответствует сумма полюсов, которая после простейших алгебраических преобразований обращается в рациональную функцию[1]. Одним из алгоритмов подбора коэффициентов в данной задаче может быть решение системы линейных уравнений, однако по ряду причин этот метод не всегда является оптимальным. Альтернативой является создание архитектуры нейронной сети, реализующей заданную функцию, суть обучения которой - поиск параметров для минимизации некоторого функционала. В общем случае для архитектур с заданным классом функций существование такого решения гарантируется теоремой Цыбенко [2]. В работе представлены результаты применения нейронных сетей для получения рациональной аппроксимации ядра свертки решения волнового уравнения в канале с целью построения прозрачных граничных условий.  Оценка эффективности алгоритма проводится на основе метода scipy.Pade. Этот алгоритм предназначен для построения аппроксимации Паде с использованием ряда Тейлора посредством решения СЛАУ. В процессе исследования были проанализированы результаты решения в зависимости от порядка многочлена знаменателя, сложности архитектуры, начальных распределений весов, количества итераций обучения. Для одинаковых порядков знаменателей было также проведено сравнение с библиотечным методом scipy.Pade, в ходе которого было выяснено, что уже для n=5 точность, демонстрируемая нейронной сетью, превосходит вышеуказанный метод более чем в два раза.  В дальнейшем планируется провести анализ оптимальной глубины сети и сравнить результаты с другими существующими алгоритмами.

1. Зайцев Н.А. Прозрачные граничные условия для волнового уравнения в канале кругового сечения.//Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2009, №80

2.Cybenko, G.V. Approximation by superpositions of a sigmoidal functions.// Mathematics of Control Signals and Systems. -1989,- Т.2, №4. - C. 303 – 314.