Казанский (Приволжский) федеральный университет
В данном исследовании предлагается новый тестовый случай для верификации алгоритмов взаимодействия жидкости и деформируемого/движущегося тела (FSI). Задача моделирует биомиметическую пропульсивную систему: цилиндрический виброробот [1], колебания которого возбуждаются движением внутренней массы (ВМ). Направленное движение системы возникает за счет двустороннего взаимодействия с вязкой жидкостью, что аналогично принципу создания тяги машущим крылом [2].
Аналитическое решение [3], полученное методом асимптотических разложений, описывает установившийся режим самодвижения, определяя амплитуды колебаний корпуса, фазовые сдвиги и крейсерскую скорость, что дает эталон для прямого сравнения с численными результатами. Сочетание биомиметической физики, простой геометрии и полного аналитического решения делает задачу уникальным эталоном для валидации FSI-алгоритмов. Для верификации этих формул выполнено прямое численное моделирование в OpenFOAM с реализацией двухстороннего взаимодействия тела и жидкости (FSI) при характерных числах Рейнольдса Re = 50–700.
Сравнение численных и аналитических результатов (см.Рис) показывают, что средние относительные погрешности составляют 2.15% для поступательной амплитуды κ и 4.71% для вращательной амплитуды Θ. Крейсерская скорость предсказывается со средней погрешностью 8.38% для всех тестовых случаев. Возрастание погрешности по скорости при больших амплитудах ВМ (ϕ = 0.85) и высоких частотах (β > 3000) указывает на границы применимости линейной асимптотической теории и выделяет области, где необходимо высокоточное CFD-моделирование. Оба FSI-подхода дают согласованные результаты, подтверждая надежность численного подхода. А сама задача может рассматриваться как тестовый случай для верификации FSI-реализаций, разработки численных методов и в образовательных целях.
1. Egorov A., Nuriev A., Anisimov V. Optimization of the movement of a cylindrical vibration-driven robot in a viscous fluid // Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, pp. 4438—4447.
2. Egorov A., Nuriev A., Anisimov V., Zaitseva O. Propulsive motion of an oscillating cylinder in a viscous fluid // Phys. Fluids, 2024, vol. 36(2), 021908.
3. Anisimov V.D, Egorov A.G, Nuriev A.N, Propulsive motion of cylindrical vibration-driven robot in a viscous fluid // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. - 2024. - Vol.166, Is.3. - P.277-296.
Вадим Дмитриевич Анисимов
Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, НИЦ «Курчатовский институт» - НИИСИ
В работе представлены разработанные автором высокопроизводительные численные методы граничных элементов для решения систем эллиптических уравнений, к которым сводится решение прикладных задач обтекания проницаемых тел медленным потоком вязкой жидкости (Рис. 1). Эти методы основываются на полученных точных аналитических решениях уравнений гидродинамики, также называемых гидродинамическими потенциалами, и разложении искомого решения конкретных краевых задач в конечные ряды по этим потенциалам. Для поиска коэффициентов функциональных рядов разложений используется схема коллокаций для граничных условий. Поэтому данный алгоритм принято относить к полуаналитическим. В нем системы дифференциальных уравнений для выбранных моделей сплошной среды выполняются точно, а граничные условия удовлетворяются в некотором дискретном множестве точек границы. Такой подход, во-первых, позволяет производить разбиение на элементы только границы, а не всего пространства (то есть использовать основное преимущество метода граничных элементов), а во-вторых, значительно упрощает анализ получившихся результатов. Это приводит к тому, что при достаточно скромных вычислительных затратах методы демонстрируют хорошую точность полученных результатов. В докладе дополнительно описана верификация разработанных алгоритмов и возможные направления их дальнейшего развития.
Область приложений разрабатываемых алгоритмов достаточно обширна. Например, при закачке в трещину гидроразрыва жидкости с пропантом требуется моделировать сложные масштабные процессы гидродинамики для сред с разными свойствами. Другим примером использования предложенных методов служит взаимодействие пористых катализаторов с жидкими реагентами при моделировании химических реакций. Логику математически аналогичных разработанных автором методов для задач стационарной теплопроводности гетерогенных трещиноватых сред можно найти в работах [1, 2].
1. Udalov A. S. Numerical modeling of thermal loading of composite aerospace vehicle parts containing cracks // Acta Astronautica. 2026. Vol. 240. P. 60–62.
2.Звягин А. В., Удалов А. С. Поиск эффективного коэффициента теплопроводности гетерогенных сред методами граничных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2026. Т. 66, № 3. С. 421–429.
Артем Сергеевич Удалов
Томский государственный университет
В настоящее время значительная часть исследований двухфазных процессов в энергоустановках ограничена рассмотрением отдельных элементов газодинамического тракта, таких как камеры сгорания или сопловые блоки. Работы, посвященные сквозному моделированию двухфазных течений во всем тракте, остаются немногочисленными. Актуальность разработки методик сквозного расчета обусловлена тем, что при исследовании течений в соплах, входные данные (функция распределения к-фазы, скоростное и температурное отставание и т.д.) существенно зависят от течения в камере сгорания [1].
В настоящей работе разработана квазиодномерная методика моделирования нестационарного течения двухфазной среды. В качестве несущей фазы рассматривается невязкий сжимаемый идеальный газ, а дисперсная фаза представлена сферическими каплями. Взаимодействие между фазами, включающее обмен массой, импульсом и энергией, учитывается через источниковые члены. Изменение размера капель конденсированной фазы описывается уравнением их горения [2]. При численном интегрировании уравнений газовой фазы используется схема Маккормака второго порядка точности, а для уравнений конденсированной фазы применяется неявная схема.
На основе разработанной методики проведены расчеты нестационарного течения двухфазной среды в газодинамическом тракте модельной энергоустановки. На рисунке (а) представлена зависимость полноты сгорания агломератов алюминия φ от начального диаметра (d = 50, 100 и 200 мкм) при вводе в поток в сечении x/Rмин = -20. Видно, что с увеличением начального диаметра, полнота сгорания существенно снижается. На рисунке (б) показано влияние места ввода капель диаметром 200 мкм на процесс их горения вдоль канала. Отмечается, что полнота сгорания зависит от сечения, через которое агломерат алюминия попадает в поток, что согласуется с теоретическими данными по времени пребывания капель в газодинамическом тракте.
а) 1 – d = 50 мкм, 2 – d = 100 мкм, 3 – d = 200 мкм
б) 1 – x/Rмин = -26, 2 – x/Rмин = -20, 3 – x/Rмин = -14
Рис. Зависимость коэффициента полноты сгорания агломератов алюминия при их движении вдоль газодинамического тракта
Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России, проект № FSWM-2025-0004.
1. Ларкин Д.О., Еремин И.В. Исследование двухфазного течения в соплах РДТТ // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2025. № 98. С. 108–119.
2. Вилюнов В.Н., Ворожцов А.Б., Фещенко Ю.В. Моделирование двухфазного течения смеси газа с горящими частицами металла в полузамкнутом канале // Физика горения и взрыва. 1989. Т. 25. № 3. С. 39–43.
Дмитрий - Ларкин
Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН
Разработка месторождений углеводородного сырья многоствольными горизонтальными скважинами (МГС) обеспечивает максимальную площадь контакта с продуктивным пластом, увеличивая область дренирования и снижая депрессию, что особенно важно для низкопроницаемых коллекторов и месторождений высоковязкой нефти. Сложность геометрии МГС и анизотропные свойства пласта делают невозможным получение аналитических решений, что стимулирует развитие численных подходов. Принципиальным при моделировании становится учет трехмерной анизотропии, гидравлических потерь в стволах и интерференции потоков.
Для решения задачи неизотермической фильтрации к МГС предлагается использовать аппарат численного моделирования тепломассопереноса в анизотропной пористой среде с совместным решением уравнений потока в пласте и в стволах. В работе строится математическая модель тепломассопереноса в системе «пласт – многоствольная горизонтальная скважина», в которой учитывается эффект Джоуля-Томсона, адиабатического охлаждения, анизотропия проницаемости, влияние объема ствола скважины и различные конфигурации стволов. Модель основана на сопряжении трехмерной неизотермической фильтрации в нефтяном пласте и одномерного неизотермического течения флюида в основном и боковых стволах МГС. На основе данной модели разработан численный метод решения обратной задачи, который позволяет одновременно оценивать фильтрационные и теплофизические параметры пласта по промысловым данным. Применение разработанной модели для интерпретации термогидродинамических исследований скважин позволяет строить профиль притока вдоль горизонтального ствола и проводить оценку дебитов боковых стволов. Развитие направления связано с интеграцией в цифровые системы управления месторождениями.
Адель Ильдусович Абдуллин
Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского
При расчете аэродинамических характеристик воздушного винта обычно принимается, что лопасти являются абсолютно жесткими, и моделирование проводится без учета изменения их формы. В то же время влияние деформаций может оказаться существенным: расхождение в получаемых величинах тяги и мощности винта может составлять свыше 10% в широком диапазоне режимов работы винта. Более того, учет этого эффекта может приводить к изменению характеристик как в большую [1], так и в меньшую [2] сторону по сравнению со случаем абсолютно жестких лопастей. С другой стороны, трудоемкость сопряженных расчетов существенно выше аналогичных «однодисциплинарных» задач, что ограничивает применение сеточных методов при параметрических исследованиях. Вследствие этого первоначальный анализ требуется проводить с использованием методов, обладающих низкими вычислительными затратами и удовлетворительной точностью.
В данной работе аэродинамические силы моделировались по вихревой теории воздушного винта, упругие деформации рассчитывались по балочной теории с учетом центробежных сил [3]. Стационарный сопряженный расчет проводился методом последовательных нагружений.
По описанной методике был проведен расчет модели тематического 6-лопастного воздушного винта, имеющей однородные полнотелые лопасти с прямой осью жесткости. Проведено сравнение результатов расчетов в случае упругих и абсолютно жестких лопастей с данными испытаний в аэродинамической трубе. Показано, что учет деформаций лопастей позволил повысить точность прогнозирования тяги и мощности.
1. Moehren F., Bergmann O., Janser F., Braun C. On the influence of elasticity on propeller performance: a parametric study // CEAS Aeronautical Journal. 2023. Vol. 14. № 2. P. 311–323.
2. Rotundo C. D., Sinnige T., Sodja J. Aeroelastic Model for Design of Composite Propellers // AIAA SciTech 2024 Forum. 2024. DOI: 10.2514/6.2024-2677.
3. Некипелов В.С. Об учете влияния упругих деформаций на аэродинамические характеристики воздушного винта с прямыми однородными лопастями // Ученые записки ЦАГИ. 2025. Т. 56. № 3. С. 51–63.
Владислав Сергеевич Некипелов
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Длительные полеты космических аппаратов (КА) на ультранизких околоземных орбитах (УНОО) с высотой 150 – 250 км открывают широкие перспективы для развития телекоммуникаций, транспортных операций, а также широкого круга научных исследований, и потому освоение УНОО является одной из приоритетных задач для ведущих мировых держав
Вместе с тем, основной проблемой полетов на УНОО является аэродинамическое сопротивление остаточной атмосферы, делающее длительное нахождение КА на орбите невозможным без наличия двигателей в составе КА, поддерживающих его движение. Возможным решением, активно рассматривающимся в последние годы по всему миру, являются воздушные электрореактивные двигатели (ВЭРД), использующие в качестве рабочего тела поток набегающих забортных газов [1]. Однако в настоящее время в мире пока отсутствуют действующие модели ВЭРД, из-за необходимости решения целого спектра взаимосвязанных фундаментальных и инженерных задач. Одним из инструментов для решения поставленных задач является численное моделирование процессов, происходящих в ВЭРД. В данной работе представлены некоторые результаты моделирования течения разреженного газа в ВЭРД методом прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ) с учетом процессов ионизации и диссоциации.
Работа выполнена при поддержке Российского Научного Фонда (грант № 26-12-00177).
Василий Викторович Косьянчук
Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова
Работа посвящена компьютерному моделированию погружения газового неоднородного сгустка в плотный слой нейтрального газа. Этот слой образуется при расширении области HII, находящейся в неоднородном облаке.
Считается, что одним из механизмов возникновения новых звездных объектов является сжатие уже существующих неоднородностей под действием излучения массивных звезд [2]. Особый интерес представляет возможность появления кумулятивных струй, которые могут служить индикаторами механики звездообразования, так как они формируются на внешней по отношению к центральной звезде стороне слоя.
Данная работа посвящена исследованию состава вещества возникающих кумулятивных струй. Важно отметить, что формирование струй возможно при вторжении именно неоднородного газового облака в слой и только при наличии ускорения [3]. При взаимодействии уплотнения с ускоряющимся слоем сначала образуется полость, которая затем за счёт сил Архимеда схлопывается, образуя кумулятивную струю.
В результате моделирования получено, что ядро облака оседает на дне образующейся полости, а менее плотные слои сгустка частично попадают в кумулятивную струю. Данные расчетов не только качественно согласуются с работами [1], [4], но и впервые количественно определяют массу вещества облака, оказавшегося в струе.
Исследование поля азимутальной завихренности подтверждает, что вихревые структуры переносятся вместе с веществом: отрицательная завихренность концентрируется в ядре, а положительная – в струе. В работе также рассмотрены особенности деформации облака при погружении его в слой при наличии самогравитации.
1. Краснобаев К.В. Перераспределение массы при проникании неоднородного уплотнения в ускоренно движущийся газовый слой // Прикладная математика и механика. 2024. Т. 88. № 6.
С. 828-838.
2. Deharveng L., Schuller F., Anderson L. D. et al. 2010. A&A. 523. A6.
3. Kotova G.Yu., Krasnobaev K.V. 2020. MINRAS. 792. 2229.
4. Kotova G.Yu., Krasnobaev K.V. Hydrodynamic instabilities in the models of the formation of young stellar objects // Fluid Dyn. 2022. Vol. 57. Suppl. 1. P. 26-34.
Никита Витальевич Белогривов
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Оптимальные возмущения, соответствующие наибольшему росту кинетической энергии на заданном интервале, ответственны за bypass-сценарий перехода к турбулентности в пристенных течениях [1]. Аналогичный сценарий был продемонстрирован и в струях в работе [2]. Как правило, оптимальные возмущения представляют собой сложные трёхмерные структуры. В работах [2,3] экспериментально создавались возмущения, близкие по структуре к оптимальным, растущие в соответствии с тем же механизмом, однако, скорость их роста оказалась существенно ниже скорости роста оптимальных возмущений. Вопрос о реальной возможности создания оптимальных возмущений в эксперименте остаётся открытым.
В данной работе проводится сравнение скоростей роста оптимальных возмущений и возмущений, созданных в [2,3]. Проводится статистический анализ возмущений, энергия которых составляет хотя бы 50 % оптимальной. Анализируется начальное пространственное распределение скорости таких возмущений и возможность их создания в эксперименте.
Исследование поддержано грантом Российского научного фонда № 25-19-00278.
1. Trefethen L.N., Trefethen A.E., Reddy S.C., Driscoll T.A. Hydrodynamic stability without eigenvalues // Science. 1993. V. 261. P. 578–584.
2. Ivanov O.O., Ashurov D.A., Gareev L.R., Vedeneev V.V. Non-modal perturbation growth in a laminar jet: an experimental study // J. Fluid Mech. 2023. V. 963. A8.
3. Гареев Л.Р., Иванов О.О., Веденеев В.В., Ашуров Д.А. Влияние амплитуды вносимого стационарного возмущения на его немодальный рост в ламинарной затопленной струе // Прикладная механика и техническая физика. 2024. Т. 65. № 1. С. 70–74.
Юлия Сергеевна Зайко
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Создание эффективных биомиметических движителей для подводных аппаратов требует глубокого понимания того, как кинематические параметры влияют на гидродинамическую эффективность [1]. В данной работе представлено численное исследование и оптимизация закона движения рыбоподобного пловца, совершающего волнообразные колебания. Целевой функцией выступает квазипропульсивная эффективность, вычисляемая как отношение мощности буксирования к мощности, затрачиваемой на движение в крейсерском режиме [2].
Рассматривается пловец с сечением в форме профиля NACA 0012. Кинематика срединной линии задаётся бегущей волной с полиномиальной огибающей амплитуды. За счет выбора коэффициентов c1, c2, можно определять различные режимы плавания. В данной работе будут рассмотрены скомброидный и угревидный режимы. Гидродинамика описывается уравнениями Навье–Стокса. Численное моделирование выполняется в OpenFOAM с использованием метода динамической сетки и алгоритма PIMPLE. Рассматривается движение с крейсерской скоростью, которая соответствует нулевой средней продольной силе.
Установлено, что при стандартных параметрах угревидный стиль обладает более высокой эффективностью, чем скомброидный, причём максимум для угревидного достигается при длине волны 2, что нехарактерно для природных аналогов. Проведена оптимизация параметров симплекс-методом Нелдера–Мида. Получен новый закон движения, обеспечивающий прирост эффективности более чем на 10% по сравнению с угревидным и почти на 30% по сравнению со скомброидным пловцом, а также существенно более высокую крейсерскую скорость. Трёхмерные расчёты подтвердили устойчивость найденного режима (см. Рис. 1).
Дамир Альбертович Исмагилов
Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН
Геометрия резонатора определяет его резонансные частоты, добротность и нелинейные эффекты [1, 2]. Акустические течения повышают эффективность осаждения аэрозоля, что важно для очистки газов [3]. Цель работы - сравнить эффективность резонаторов для осаждения мелкодисперсного аэрозоля.
Исследования проведены на экспериментальной установке c виброгенератором. Испытаны четыре резонатора: широкая труба (R1=0.05 м), узкая труба (R2=0.018 м), труба со скачком сечения (R1, R2) и квадратный канал (D=0.4 м). На одном конце устанавливался плоский поршень, противоположный конец герметично закрыт. В качестве рабочей среды использовался аэрозоль DEHS с микронным диаметром частиц.
Максимальное акустическое давление обнаружено в канале с наибольшей площадью поршня и его значение в 3 раза превышает давление в узкой трубе. При резонансе осаждение аэрозоля ускорено по сравнению с невозмущенной средой. Наименьшее время осаждения в широкой трубе, наибольшее в канале, из-за различий объёма и числа частиц. Введён критерий эффективности K для сравнения резонаторов с учётом геометрии [4].
Изучено влияние радиального градиента температуры на резонансные колебания газа в широкой трубе [5]. Рассмотрена закрытая цилиндрическая труба с объёмным источником тепла, постоянной температурой стенок и параболическим радиальным профилем температуры. Показано, что источник тепла уменьшает средний сток импульса из-за радиальной зависимости скорости, что вместе с температурной зависимостью вязкости усиливает резонансные колебания.
Работа выполнена за счет предоставленного в 2026 году Фондом науки и технологий Республики Татарстан гранта на осуществление фундаментальных и поисковых исследований в научных и образовательных организациях, предприятиях и организациях реального сектора экономики Республики Татарстан.
1.Lawrenson C.C., Lipkens B., Lucas T.S., Perkins D.K. and VanDoren T.W. Measurements of macrosonic standing waves in oscillating closed cavities // J. Acoust. Soc. Am. 1998. Vol. 104. P. 623–636.
2. Cervenka M., Soltes M., and Bednarik M. Optimal shaping of acoustic resonators for the generation of high-amplitude standing waves // J. Acoust. Soc. Am. 2004. Vol. 136. P. 1003.
3. Yuen W.T., Fu S.C., Kwan J.K.C., Chao C.Y.H. // The use of nonlinear acoustics as an energy-efficient technique for aerosol removal // Aerosol Sci. Technol. 2014. Vol 48, No 9, P. 907–915.
4. Шайдуллин Л.Р., Губайдуллин Д.А., Фадеев С.А., Зарипов Р.Г., Ткаченко Л.А. Вынужденные колебания газа и осаждение аэрозоля в замкнутых резонаторах разной геометрии // ТВТ. 2025. Т. 63, № 6. С. 736–742.
5. Fadeev S.A., Gubaidullin D.A., and Shaidullin L.R. Effect of the radial temperature gradient on resonant oscillations of gas in a closed tube / J. Acoust. Soc. Am. 2024. Vol. 156, No 6. P. 4123–4132.
Дамир Анварович Губайдуллин
НИИ механики МГУ
Проектирование и безопасная эксплуатация скважин требуют проведения всестороннего моделирования возможных режимов ее работы. Применяемое для таких расчетов специализированное программное обеспечение должно сочетать множество факторов, включая необходимую полноту математической модели и экономичные численные методы, опеспечивающие возможность проведения расчетов за удовлетворительное время. В данном докладе будут представлены некоторые результаты разработки такого специализированного программного обеспечения для моделирования течений в скважинах. Будут приведены соответствующие математические модели для описания нестационарных многофазных неизотермических течений, предложенные для этих моделей численные алгоритмы [1, 2], а также ряд примеров расчета типовых задач моделирования течений в скважинах.
-
Сравнение различных формулировок модели дрейфа при расчёте нестационарных течений в трубах / Б. И. Краснопольский, П. А. Карипидис, Д. В. Быков и др. // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2025. Т. 26, № 7. С. 2025–26.
-
Combining machine learning and a multiphase flow model for hybrid virtual flow metering / A. Gryzlov, S. Safonov, B. Krasnopolsky, M. Arsalan // SPE Abu Dhabi International Petroleum Exhibition and Conference 2023. SPE: 2023. P. SPE–216672–MS.
Борис Иосифович Краснопольский
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук
В работе исследуется диффузия пассивного скаляра на примере поля температуры в изотропном турбулентном потоке на малых масштабах: наименьшем диссипативном и классическом вязком (колмогоровском). Поле скоростей аппроксимируется моделью Казанцева-Крайчнана, и предполагается несжимаемым, изотропным, стационарным, гауссовым и дельта-коррелированным по времени [1, 2]. Для анализа эволюции поля температуры используется уравнения транспорта скаляра и формула Фурутцу-Новикова, позволяющая получить уравнения динамики парного коррелятора скаляра из коррелятора для поля скоростей. После преобразований это уравнение сводится к задаче Штурма-Лиувилля на полуоси с положительным потенциалом (см. Рис. 1). В такой постановке экспоненциально затухающие временные решения соответствуют отрицательным собственным значениям оператора Штурма-Лиувилля или положительным энергиям виртуальных состояний в шредингеровской интерпретации (аналогично задаче с поведением пассивного вектора [3]).
Для детального рассмотрения эволюции скаляра в уравнении на его парный коррелятор осуществляется переход в Фурье-пространство и преобразование к задаче с потенциалом в нем. Сравнение результатов, полученных двумя представленными методами, позволяет подробно изучить механизм выхода возмущения с диссипативного на вязкий масштаб.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 26-72-10146).
Андрей Александрович Огинов
НИИ Механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Гидродинамический расчет фильтрационных процессов в водонасыщенных пластах на детализированных трехмерных сетках требует значительных вычислительных ресурсов, что затрудняет проведение многовариантных расчетов, например, адаптацию модели к истории разработки или анализ рисков. Перспективным способом снижения вычислительных затрат является редукция размерности численной модели. При этом упрощенная модель должна воспроизводить ключевые фильтрационные свойства пласта и обеспечивать их быстрый анализ[1].
В работе рассматривается построение и сравнение диагностических кривых трехмерной неоднородной и одномерной редуцированной модели геологического пласта при однофазном изотермическом течении. Для этого в пласте в характерный момент времени выделяются регионы по распределению давления с последующим осреднением их параметров (см. Рис.). Данный подход позволяет рассчитать эффективные коэффициенты гидродинамической проводимости Tr между регионами и распределение объемов 
, которые затем используются для настройки одномерной модели.
Показано, что существует инвариантная относительно числа регионов и характерного времени универсальная кривая, являющаяся аналогом диагностической кривой и определяемая произведением Tr·V от эффективного расстояния до скважины Ω. Это расстояние представляет собой объем пласта, вовлеченного в фильтрацию. В логарифмических координатах наклон этой кривой однозначно соответствует режиму течения (радиальный, линейный, сферический). Доказано, что данная кривая позволяет восстанавливать фильтрационные свойства исходной модели без потери значимой информации. Сравнение диагностических кривых подтверждает корректность предложенного подхода.
Максим Иванович Денисов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Моделирование резкого сжатия (схлопывания) газовых пузырьков в жидкости — актуальная задача благодаря широкому кругу приложений в науке и технике. Указанные процессы могут приносить как пользу, так и вред. К числу положительных примеров относится применение кавитации в медицине: например, для разрушения жировых отложений или дробления почечных камней. Отрицательное действие проявляется в эрозии деталей гидродинамических установок — винтов, лопастей насосов и турбин, где ударные волны постепенно повреждают металлическую поверхность. Более того, в особых условиях подобные явления способны даже инициировать термоядерные реакции.
Для некоторых более простых постановок задачи о сжатии пузырька существуют аналитические решения. Классический пример — решение, описывающее схлопывание сферической полости внутри идеальной несжимаемой жидкости. Однако в источнике [1] обосновывается физическая некорректность такой модели: при её использовании скорость границы раздела сред в момент схлопывания становится бесконечной, а в жидкости около пузырька возникает резкий скачок давления, не позволяющий пренебречь сжимаемостью среды.
Из-за отсутствия точных аналитических решений для различных вариаций данной задачи, возникает необходимость применения численных методов. В настоящей работе процессы моделируются конечно-разностными численными схемами, что даёт возможность достаточно точно определить скорость сжатия пузырька и распределение давления в окружающей жидкости.
Во всех рассматриваемых случаях пузырёк считается сферически симметричным. Для ситуации схлопывания пустой полости в идеальной несжимаемой жидкости удалось установить, что численное решение хорошо совпадает с аналитическим. В более сложной постановке (для которой аналитического решения нет) газ полагается идеальным и совершенным, а жидкость — несжимаемой линейно-вязкой. Процесс изучается в предположении гомобаричности: давление внутри пузырька считается одинаковым во всём объёме. Все пространство делится на две области: газ и окружающая жидкость. Известно начальное распределение следующих величин: давления, плотности, скорости и температуры. Таким образом, имеем начально-краевую задачу с подвижной границей. В работе представлено приближённое решение данной задачи и проведён анализ распределения давления в жидкости.
[1] Нигматулин Р. И. Механика сплошной среды. Кинематика. Динамика. Термодинамика. Статистическая динамика. М. : ГЭОТАР-Медиа, 2014.
Анастасия Константиновна Седова
Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН
Изучение совместного коллапса парогазовых пузырьков имеет большое научное и прикладное значение, что обусловлено многочисленными негативными последствиями и позитивными применениями кавитации. В этих последствиях и применениях кавитации важную роль играет совместный коллапс парогазовых пузырьков, поскольку при совместном коллапсе степени сжатия пузырьков могут быть более высокими.
В настоящей работе рассматривается совместный коллапс парогазовых пузырьков в наиболее простых конфигурациях: в линейной, состоящей из двух пузырьков, плоской, с равномерным распределением N пузырьков на окружности, и пространственной, с четырьмя пузырьками в вершинах правильных многоугольников (рис.1). Изучается влияние числа пузырьков в конфигурации, а также расстояния между пузырьками.
Первоначально пузырьки одинаковы по размеру, заполнены насыщенным водяным паром и некоторым количеством неконденсируемого газа (воздуха), скорость жидкости и парогазовой смеси в пузырьках равна нулю. Начальное давление парогазовой смеси в пузырьках намного меньше давления окружающей жидкости, в результате чего пузырьки совместно коллапсируют. Отметим, что физически подобные начальные условия соответствуют моменту перехода от расширения к сжатию пузырьков, созданных в стационарной жидкости лазерным или искровым пробоем.
Исследования проводятся с помощью математической модели совместного коллапса парогазовых пузырьков работ [1, 2]. Данная модель включает в себя обыкновенные дифференциальные уравнения относительно радиуса пузырьков, радиальной скорости жидкости на поверхности пузырьков, давления в пузырьках, а также уравнения в частных производных относительно температуры и массовой концентрации газа в пузырьках и жидкости, замыкаемых соответствующими кинематическими, динамическими, тепловыми и диффузионными граничными условиями. Диффузия газа из пузырьков в жидкость и обратно описывается законом Генри, испарение/конденсация на поверхности пузырьков – формулами Герца-Кнудсена-Ленгмюра.
Установлено, что первоначально преимущественно паровые пузырьки со временем превращаются в преимущественно газовые. По мере увеличения начальной массовой доли газа этот переход становится всё более продолжительным, амплитуда расширений и сжатий пузырьков возрастает, а их частота уменьшается. Показано влияние временной задержки в распространении акустических взаимодействии пузырьков. В частности, наиболее ощутимое влияние временной задержки в случаях двух, трех и четырех (в пространственной конфигурации) пузырьков наблюдается при меньших расстояниях между пузырьками.
Исследования выполнены за счет гранта Российского научного фонда № 25-71-00088, https://rscf.ru/project/25-71-00088/.
1.Aganin A.A., Khalitova T.F. Collapse of equal symmetrically located spherical cavitation bubbles // Lobachevskii J. Math. 2024. V. 45. No. 5. P. 1875–1885.
2.Aganin A.A., Mustafin I.N. Collapse of symmetrically located vapor-gas bubbles // Lobachevskii J. Math. 2026. V.47. No.6 (in press).
Ильдар Наилевич Мустафин
